Rozklad vektora na zložky je opačná operácia ako súčet vektorov. V rovine možno vektor rozložiť na dve zložky, t.j. na dva vektory do vopred určených smerov. Sčítaním zložiek vznikne pôvodný vektor. Na  obr. 1.1.4.1  je znázornený rozklad vektora  a do smerov naznačených dvomi priamkami. Uskutočňuje sa tak, že priamky, do smerov ktorých treba vektor rozložiť, vedieme koncovým aj začiatočným bodom vektora. Tak vznikne rovnobežník, na ktorom už jednoducho vyznačíme  zložky  p  a  q .

 

 

V  priamkach, do ktorých rozkladáme vektor a , môžeme zvoliť jednotkové vektory, ktoré označíme  e₁  a  e₂ .  Jednotkovými vektormi sú potom určené príslušné smery. Zložky p  a  q   vyjadríme ako skalárne násobky vektorov  e₁  a  e₂  :   p  =  a_pe₁  ,   q  = a_qe₂ . Vektor  e₁ však môže mať opačný smer ako zložka  p ,  a vtedy skalár   a_p  pred vektorom  e₁  musí byť záporný. Preto skalár  a_p  nepredstavuje veľkosť vektora  p,  ale je jednou zo súradníc rozloženého vektora  a  vo vzťažnej sústave určenej vektormi e₁  a  e₂  .  Vektor  a možno po takomto rozklade na zložky vyjadriť v tvare

 

a  =  p + q  =    a_pe₁  +  a_qe₂        (1.1.4.1)

                     

O takomto vyjadrení hovoríme, že vektor  a  je lineárnou kombináciou vektorov  e₁  a  e₂  .

 

V trojrozmernom priestore musí byť vzťažná sústava určená tromi vektormi  e₁ ,  e₂  a  e₃   o ktorých hovoríme, že tvoria jej bázu . Vo všeobecnosti to ani nemusia byť jednotkové vektory.  Najčastejšie sa však používa rozklad do troch navzájom kolmých smerov, určených jednotkovými vektormi so zaužívaným označením  i,  j,  k . Stotožňujú sa s osami  x, y, z   karteziánskej súradnicovej sústavy. Ľubovoľný vektor  f možno pomocou takejto trojice jednotkových vektorov vyjadriť ako ich lineárnu kombináciu

 

 f  =  f_x i + f_y j  + f_z k        (1.1.4.2)       

 

V tomto vyjadrení vektora  f  sú  f_x  ,  f_y  a  f_z   jeho súradnice, ktoré môžu byť kladné, i záporné podľa toho, aký je jeho smer vzhľadom na jednotkové vektory.  Na obr. 1.1.4.2  je znázornený dvojrozmerný prípad, pričom vektor  g  má zápornú súradnicu  g_x , ostatné súradnice vektorov  f  a  g  sú kladné.

 

 

Veľkosť vektora  f  možno v karteziánskej súradnicovej sústave  vyjadriť pomocou jeho súradníc, použitím Pythagorovej vety

 

        (1.1.4.3)  

 

 Vektor  f  zviera s vektormi  i ,  j ,  k   smerové uhly   a , b , g ,  pre ktoré platia vzťahy

 

        (1.1.4.4)     

 

ktoré si možno overiť na dvojrozmernom obrázku  1.1.4.2.

Zo vzťahov  (1.1.4.4) pre kosínusy smerových uhlov (smerové kosínusy)  bezprostredne vyplýva rovnosť

 

cos²a  +  cos²b  + cos²g  = 1        (1.1.4.5)

 

Súčet vektorov a  skalárny násobok vektora možno výhodne počítať, keď vektory vyjadríme v zložkovom tvare. Napríklad ak  a = a_x i + a_y j + a_z k ,   b = b_x i + b_y j + b_z k   potom môžeme ich súčet uskutočniť po zložkách, na základe platnosti komutatívnosti a asociatívnosti sčítania vektorov :

  

a + b =  (  a_x+ b_x) i  +  (a_y + b_y) j  + (a_z + b_z ) k        (1.1.4.6)

 

takže pre súradnice výsledného vektora  c   platí

   

c_x  =  ( a_x+ b_x)  ,   c_y  =   (a_y + b_y) ,    c_z  =  (a_z + b_z )        (1.1.4.7)

 

Pre skalárny násobok vektora vyjadreného v zložkách platí:

 

d  = sa =  s ( a_x i + a_y j + a_z k ) =  sa_x i + sa_y j + sa_z k

 

pričom pre jeho súradnice platí   

d_x = sa_x,  d_y = sa_y,  d_z = sa_z        (1.1.4.8)

 

 

Vypočítajte súčet vektorov  a =  3 i + 2 j  -  k   a   b =  -i + 2 j -  2 k  .

 

c =  a + b =  (3 - 1)i + (2 + 2)j  + (-1 -2)k  =   2 i + 4j  -  3k , takže súradnice vektora  c  sú: c_x =  2 ,  c_y =  4 ,  c_z =  -3

 

Vyjadrite vektor  d, ktorý  má  trojnásobnú  veľkosť  a opačný smer ako vektor    a =  3 i + 2 j  -  k . 

 

Riešenie  

d  =  (-3)a  =  (-3)(3 i + 2 j  -  k )  =  -9 i  - 6 j  + 3k  . Presvedčite sa , že veľkosť vektora  d  je naozaj trojnásobná v porovnaní s veľkosťou vektora  a.