Zmiešaný súčinZmiešaný súčin

Zmiešaný súčin troch vektorov je operácia, v ktorej sa uskutoční najprv vektorový a po ňom skalárny súčin. Medzi tromi vektormi  a, b, c  je možných viacero variantov zmiešaného súčinu, napríklad:
 
a × (b ´ c), (a ´ b) × c, (b ´ c) × a        (1.2.3.1)
 
Výsledkom je vždy skalárna veličina, ktorá môže byť kladná, nulová i záporná.
 
Niektoré vlastnosti zmiešaného súčinu:
  • Výraz (a × b) ´ c , nie je zmiešaný súčin, lebo výraz v zátvorke je skalárna veličina,  ktorou nemožno vektor  c  násobiť vektorovo.
  • Zmiešaný súčin má význam objemu rovnobežnostena skonštruovaného na základe vektorov zmiešaného súčinu. Na  obrázku  1.2.3.1  je nakreslený rovnobežnosten zostrojený pomocou vektorov   a, b, c ,  ako aj priamka   z   kolmá na rovinu vektorov a, b.

  • Zmiešaný súčin S = (a ´ b) × c  vypočítame podľa pravidiel vektorového a skalárneho súčinu . Výsledkom vektorového súčinu a ´ b je vektor (označme ho w) kolmý na ich rovinu, teda  vektor, ktorý má veľkosť ab sina  a je rovnobežný s priamkou  z . Vektor  w  zviera s vektorom c  uhol  g  , ktorého kosínus vstupuje do výrazu pre skalárny súčin medzi vektormi  w  a  c . Pre výsledok zmiešaného súčinu tak dostaneme  S =  (ab sina ) c cosg . Výraz   c cosg  súčasne predstavuje výšku rovnobežnostena, pričom veľkosť vektorového súčinu ab sina  je plošný obsah jeho základne. Preto zmiešaný súčin má význam objemu rovnobežnostena.
  • Rovnaký výsledok dostaneme aj pomocou zmiešaných súčinov  (b ´ c) × a a  (c ´ a) × b ,  teda súčinmi, v ktorých sme urobili cyklickú zámenu poradia vektorov, pri zachovaní polohy zátvoriek, ako aj značiek vektorového a skalárneho súčinu. Preto platia rovnosti
(a ´ b) × c  =  (b ´ c) × a  =  (c ´ a) × b        (1.2.3.2)
 
  • Ak si uvedomíme komutatívnosť skalárneho súčinu, môžeme napísať rovnosť

(a ´ b) × c   =    c × (a ´ b)        (1.2.3.3)

Porovnaním posledných členov  rovností  (1.2.3.2) a (1.2.3.3)  dostaneme výsledok
(c ´ a) × b   =   c × (a ´ b)        (1.2.3.4)
ktorý interpretujeme ako možnosť premiestnenia zátvoriek, pri súčasnej výmene značiek vektorového a skalárneho súčinu.
  • Zmiešaný súčin je kladný, ak vektory v zmiešanom súčine, v takom poradí ako sú napísané, tvoria pravotočivú sústavu. Zámenou poradia ľubovoľných dvoch vektorov v zmiešanom súčine, zmení sa jeho znamienko. Ak je zmiešaný súčin záporný, objemu rovnobežnostena sa vtedy rovná jeho absolútna hodnota.
  • Nulová hodnota zmiešaného súčinu znamená, že príslušné vektory sú komplanárne.
  • Zmiešaný súčin možno vyjadriť pomocou determinantu, pričom v jednom riadku sú súradnice jedného vektora. K tomuto tvrdeniu môžeme dospieť, keď si všimneme zápis vektorového súčinu pomocou vzťahov (1.2.2.6)  a  (1.2.2.7) . Ak výraz (1.2.2.6) skalárne vynásobíme vektorom  c = cx i + cy j  +  cz k , dostaneme
(cx i + cy j  +  cz k ) ×  [i ( aybz  -  azby )  +  j ( azbx - axbz )  +  k ( axby - aybx )]  =
=   cx ( aybz  - azby )  + cy ( azbx - axbz )  + cz ( axby - aybx ),
takže je zrejmé, že tento zmiešaný súčin možno vyjadriť ako determinant
        (1.2.3.5)
 
Zápisom zmiešaného súčinu v tvare determinantu možno overiť pravidlo o cyklickej zmene poradia vektorov, ako aj o zmene znamienka pri zámene poradia dvoch vektorov. Zámena poradia dvoch vektorov sa v determinante prejaví ako zámena dvoch riadkov, ktorej dôsledkom je zmena znamienka determinantu.
 
 
Príklad 1.2.3.1 
Vypočítajte zmiešaný súčin  c × (a ´ b)  pričom  vektory sú zadané v zložkovom tvare :  a = 5 i  ,  b = 4 i + 3 j ,  c =  2 i  - j  +  k . Overte si, že rovnaký výsledok dostanete, ak v zmiešanom súčine urobíte cyklickú zámenu poradia vektorov.
 
Riešenie
Výpočtom vektorového súčinu sa presvedčíme, že  (a ´ b) =  15 k .  Výsledok vynásobíme skalárne vektorom c :   (15 k ) × (2 i  - j  +  k )  =  15.
Pre zmiešaný súčin  (c ´ a) × b  dostaneme rovnaký výsledok : (2 i  - j  +  k ) ´ (5i ) =  5k  + 5 j  a ďalej  (5k  + 5 j ) × (4 i + 3 j ) =  15.
 
 

Kontrolné otázky

  1. Uveďte možné varianty zmiešaného súčinu troch vektorov !
  2. Aký je geometrický význam zmiešaného súčinu ? Zdôvodnite svoje tvrdenie !
  3. Viete zdôvodniť pravidlo o posune zátvoriek a súčasnej zámene "bodky a krížika" v zmiešanom súčine ?
  4. Kedy je zmiešaný súčin kladný, záporný, nulový ?
  5. Vyjadrite zmiešaný súčin troch vektorov v tvare determinantu !
  6. Čo sa zmení na zmiešanom súčine, ak v ňom zmením poradie dvoch vektorov ?