Dvojnásobný vektorový súčin medzi tromi vektormi  a, b, c  môže mať dva tvary , pokiaľ dodržíme určené poradie vektorov :

 

a ´ (b ´ c)      a     (a ´ b) ´ c        (1.2.4.1)

 

Zo zápisu je zrejmé, že výsledkom dvojnásobného vektorového súčinu je vektorová veličina. Uvedené dva tvary neposkytujú rovnaký výsledok. Výsledkom súčinu vektorov nachádzajúcich sa v zátvorke je v oboch prípadoch vektor , ktorý je na ich rovinu kolmý (označme si ho ako w , obr. 1.2.4.1). Súčinom vektora  w  s ďalším vektorom je vektor u, ktorý je kolmý aj na vektor  w, takže  u  musí ležať v rovine vektorov, ktoré sú uvedené v zátvorke. To znamená, že výsledok dvojnásobného vektorového súčinu  u  možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov, nachádzajúcich sa v zátvorke. V prvom prípade výsledný vektor  u₁ leží v rovine vektorov  b, c   a v druhom prípade výsledný vektor  u₂  leží v rovine  vektorov  a, b . Druhý prípad je nakreslený na obrázku.

 

 

Pre výsledné vektory platia nasledujúce vzorce:

 

u₁  =  a ´ (b ´ c)  =   b (a × c) -  c (a × b )        (1.2.4.2)

u₂  =  (a ´ b) ´ c  =   b (a × c) -  a (b × c )        (1.2.4.3)

 

Správnosť týchto vzorcov možno dokázať celkom všeobecným postupom, ktorý je však náročný a pomerne rozsiahly. Preto si jeden zo vzorcov, a to  (1.2.4.3) ,  odvodíme zjednodušeným postupom na príklade troch ľubovoľných nekomplanárnych vektorov  a, b, c,  v špeciálne zvolenej karteziánskej súradnicovej sústave. Súradnicovú os  x  zvolíme tak, aby bola rovnobežná s vektorom  a  , takže  a  bude mať len jednu zložku,  a to rovnobežnú s jednotkovým vektorom  i  :   a = a_x i .   Os  y  zvolíme tak,  aby rovina  (xy)  bola rovnobežná s rovinou určenou vektormi  a, b .  Vtedy vektor  b  , pokiaľ nie je kolmý na  a ,  bude mať dve zložky  :  b =  b_x i + b_y j .  Os  z  karteziánskej sústavy je tým už jednoznačne určená, a tak  vektor  c , ak chceme uvažovať čo najvšeobecnejšie, musí mať tri zložky :  c = c_x i + c_y j + c_z k 

Súhrnne:                                                                               

Potom dvojnásobný vektorový súčin  (a ´ b) ´ c   vypočítame:

Výraz v zátvorke v poslednom riadku nie je výsledkom priameho výpočtu, rovná sa nule, a to, že sme ho pridali do výpočtu, je len súčasťou nášho zjednodušeného postupu. Vhodným pospájaním členov posledného riadku dostaneme:  

 

(a ´ b) ´ c  =  (a_x c_x) (b_x i + b_y j ) - (b_x c_x + b_y c_y) (a_x i)

 

Keď si uvedomíme,  že platí

 

a_x c_x =  a × c     a      b_x c_x + b_y c_y  =  b × c,

 

čo si ľahko overíme vypočítaním týchto skalárnych súčinov vychádzajúc zo zadania vektorov  (1.2.4.5),  dostaneme konečný výsledok 

 

(a ´ b) ´ c    =   b (a × c) -  a (b × c )

 

Podobne možno odvodiť aj vzorec (1.2.4.2), pričom opäť sa overí zásada, že výsledný vektor, výsledok dvojnásobného vektorového súčinu, možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov ležiacich v rovine vektorov uvedených v zátvorke.

 

Dvojnásobný vektorový súčin sa často využíva pri vyjadrovaní vzťahov v mechanike, ale aj elektromagnetizme.

 

Vypočítajte  dvojnásobný  vektorový  súčin  ( a ´ b) ´ c  vektorov :  a = 5 i  ,  b = 4 i + 3 j ,  c =  2 i  - j  +  k  a overte si, že výsledný vektor leží v rovine vektorov a, b .  Vektory  a, b  ležia v rovine xy , takže výsledný vektor by mal mať len zložky rovnobežné s jednotkovými vektormi  i, j . Nakreslite si obrázok.

 

( a ´ b) ´ c  =  [5 i ´ ( 4 i + 3 j )] ´ (2 i  - j  +  k ) =  [15 k] ´ (2 i  - j  +  k ) = 30 j + 15 i