Zavádza sa rovnako, ako derivácia funkcie jednej premennej, t.j. ako limita podielu. Napríklad derivácia polohového vektora  r (t) sa definuje vzťahom:

 

 

(1.3.2.1)

 

kde  r₁   a  r₂    sú polohové vektory (napr. pohybujúcej sa častice)  v okamihoch  t₁  a  t₂ .  Takto je definovaná okamžitá rýchlosť (častice), pomocou  ktorej  možno dobre pochopiť význam derivácie vektorovej funkcie.  Na obrázku 1.3.2.1  sú nakreslené príslušné vektory, takže vidno smer i veľkosť vektora  Dr .  V limite pri  t₂ ® t₁  sa vektor  r₂   približuje k vektoru  r₁ , takže vektor  Dr  sa skracuje a postupne sa svojim smerom približuje ku smeru dotyčnice krivky v bode s polohovým vektorom  r₁ . V definícii derivácie v menovateli zlomku vystupuje časový interval, teda skalárna veličina, takže podiel  Dr/Dt je v podstate skalárnym násobkom vektora Dr  , pričom násobiacim skalárom je zlomok  1/Dt . Preto výsledkom derivácie vektorovej funkcie podľa času je opäť vektorová funkcia, ktorej smer je určený čitateľom zlomku z definície derivácie.  V tomto prípade  smer vektora rýchlosti je totožný so smerom dotyčnice krivky v bode  r₁ . Veľkosť výsledku predstavuje veľkosť okamžitej rýchlosti (častice).

 

 

 

Pri konkrétnych výpočtoch derivácie vektorovej funkcie, keď chceme získať číselné hodnoty, treba  vektorovú funkciu vyjadriť v zložkách, ako v  (1.3.1.1). Napríklad polohový vektor pohybujúcej sa častice má potom tvar :  r (t)  =  x(t) i + y (t) j  + z(t) k  . Takto zapísaná vektorová funkcia predstavuje súčet troch funkcií,  preto deriváciu polohového vektora vyjadríme ako súčet derivácií jeho troch zložiek :

 

        (1.3.2.2)

 

V tomto výraze vystupujú zložky rýchlosti: v_x i  =  (dx/dt) i   atď.  resp. súradnice vektora rýchlosti   v_x =  (dx/dt)  .  Súradnica vektora rýchlosti predstavuje zmenu  príslušnej súradnice polohového vektora pripadajúcej na jednotkový časový interval. Podľa definície derivácie  platí

 

        (1.3.2.3)

 

Táto derivácia môže byť kladná, i záporná (pravdaže i nulová). Kladná je vtedy, keď s pribúdajúcim časom rastie hodnota súradnice, záporná v opačnom prípade.

 

Význam "zlomku" dx/dt  pochopíme na základe nasledujúcej úvahy. Ak častica za  1 s  prejde napríklad  5 m, tak číselnú hodnotu rýchlosti častice vyjadríme ako podiel  5/1 = 5 . Táto častica za  časový interval 0,1 s  prejde  0,5 m ,  za  0,01 s   0,05 m atď. ,  ale podiel  hodnôt  0,5/0,1 =  0,05/0,01  … atď.  je stále rovnaký a zachová sa aj v limitnom prípade, keď  hodnota menovateľa  t₂ - t₁  sa blíži k nule. Preto výraz  dx/dt  vyjadruje zmenu súradnice pripadajúcu na jednotkový časový interval (sekundu). Takto treba chápať význam derivácie aj v iných prípadoch, keď v čitateli i v menovateli limity (1.3.2.3) sú  iné premenné ako v tomto uvedenom príklade.

 

 

Vypočítajte súradnice, zložky a veľkosť rýchlosti častice, keď súradnice jej polohového vektora sú vyjadrené takto :   x = p t  ,   y  =  q + st + 0,5 ut ² , z = 0,  pričom konštanty vo vzorcoch majú hodnoty   p =  -3 m/s  ,    q =  4 m  ,  s =  2 m/s  ,   u = - 9,81 m×s^-2  .

 

Ak orientujeme os  x  vodorovne a os  y  zvislo, tak pozornejší čitateľ zistí, že ide o šikmý vrh, zo začiatočnej výšky  q = 4 m ,  začiatočnou rýchlosťou  s = 2 m/s  nahor a rýchlosťou  p = 3 m/s  vodorovne v zápornom smere osi  x . Vyjadríme polohový vektor v zložkovom tvare :    r(t) =  pt i  +  (q + st +  0,5 ut² ) j  + 0 k  .  Vektor rýchlosti získame deriváciou polohového vektora, pričom použijeme vzorec  (1.3.2.2):

v =   p i  +  (s +  ut ) j,

kde vidno dve zložky vektora  v - zložku v smere vektora  i  a zložku v smere vektora  j .  Pre súradnice vektora  v  pritom platí :  v_x =  p =  -3 m/s ,   v_y =  s + ut =  (2 - 9,81 t ) m/s . To znamená, že súradnica  v_y  sa mení s časom. Jej konkrétna číselná hodnota závisí od časového údaja, ktorý do vzťahu pre súradnicu dosadíme. Veľkosť vektora  v  získame, ak použijeme vzorec  (1.1.4.3) :   v =  [p² +  (s +  ut )²]^1/2