Pri opise fyzikálnych polí sa často stretávame  s výrazmi, ktoré možno formálne vyjadriť ako skalárny, alebo ako vektorový súčin nabla operátora s vektorovou funkciou. Označujú sa názvami  divergencia, resp. rotácia vektorovej funkcie.

Divergencia vektorovej funkcie sa zavádza vzťahom:

 

div F(x,y,z)  =  Ñ × F  =  ( i ¶ /¶x + j ¶/¶ y + k ¶/¶z) × (F_x i  + F_y j  + F_z k )  =

=    ¶F_x /¶x  +  ¶F_y /¶y  +  ¶F_z /¶ z                               (1.3.5.1)

 

V symbolickom skalárnom súčine nabla operátora s vektorovou funkciou sa postupuje rovnako, ako pri skalárnom súčine dvoch vektorových funkcií, zapísaných v zložkovom tvare, teda podľa vzorca (1.2.1.5).  Výsledkom divergencie vektorovej funkcie je skalárna funkcia. Súčin je skutočne symbolický, lebo nabla operátor nie je v skutočnosti vektor, nemožno hovoriť o jeho veľkosti, ani o smere. 

 

Rotácia vektorovej funkcie sa zavádza vzťahom:

 

rot F(x,y,z)  =  Ñ ´ F  = ( i ¶/¶x + j ¶/¶y + k ¶/¶z) ´ (F_x i  + F_y j  + F_z k )  =

 

        (1.3.5.2)

 

 

Aj v tomto prípade sa symbolický vektorový súčin nabla operátora s vektorovou funkciou vykonáva podľa pravidiel vektorového súčinu medzi vektormi vyjadrenými v zložkách, teda podľa vzorcov  (1.2.2.6)  a  (1.2.2.7) .

 

 

Vypočítajte divergenciu a rotáciu vektorovej funkcie  f = r(x,y,z) =  xi + yj + zk  . Uvedomte si, že takáto funkcia (polohový vektor) má charakter radiálneho vektorového poľa, keď v ľubovoľnom bode priestoru tejto funkcii prislúcha  vektor  r  smerujúci od stredu (začiatku) súradnicovej sústavy (obr. 1.3.5.1)

 

 

div r  =   ¶x /¶ x  +  ¶y /¶y  +  ¶z /¶z  =  3

 

 

 

Vypočítajte divergenciu a rotáciu vektorovej funkcie  f (x,y,z) =  w ´ r   ktorá je vektorovým súčinom konštantného vektora  w  s  polohovým vektorom  r . Nech  r =  x i + y j  a  w  = w k .  Vektorová funkcia  f  zobrazuje pole vektora rýchlosti pri otáčaní roviny uhlovou rýchlosťou  w  . Je to príklad axiálneho vektorového poľa, v ktorom vektorová funkcia má vždy smer dotyčnice ku kružnici, ktorej stred leží v začiatku súradnicovej sústavy.

 

Najprv vypočítame vektorový súčin  w ´ r  = (w k) ´ (xi + yj) =  xw  j - y w i . Potom

Výsledky príkladov  1.3.5.1  a  1.3.5.2  hovoria o tom, že rotácia vektorovej funkcie predstavujúcej radiálne pole sa rovná nule, ale rotácia v prípade axiálneho poľa je nenulová. Naopak je to pri divergencii, kde nenulový výsledok sme dostali pri radiálnom poli. Tieto výsledky naznačujú význam operácií  divergencia a rotácia pri charakterizácii fyzikálnych polí. Elektrostatické pole v okolí bodového náboja má radiálny charakter, zatiaľ čo magnetické pole v okolí vodičov elektrického prúdu charakter axiálny. Táto vlastnosť sa odzrkadľuje aj na Maxwellových rovniciach, keď pre vektor intenzity el. poľa platí  div E = r/e_o  ale pre vektor  magnetickej indukcie  div  B  =  0 . A naopak , v elektrostatickom poli   platí   rot E = 0 ,  ale   pre  vektor  intenzity   stacionárneho  magnetického poľa platí  rot  H = j  , kde  j  je vektor prúdovej hustoty.