Doteraz uvedené aplikácie operátora nabla predstavujú prvé derivácie funkcií priestorových premenných. Operátor však možno aplikovať na funkciu získanú prvou deriváciou, čím vznikajú druhé derivácie funkcií. Operátor možno na funkcie aplikovať zase tromi spôsobmi (ako gradient, divergenciu a rotáciu), preto jestvuje aj viac prípadov druhých derivácií.

 

Najprv uvedieme všetky možnosti druhej derivácie skalárnej funkcie  S(x,y,z):

 

 

Ñ × (Ñ S) =  div grad S(x,y,z) =  ( i ¶/¶x + j ¶/¶y + k ¶/¶z) × ( i ¶S/¶x + j ¶S/¶y + k ¶S/¶z)  =

                =  (¶²S /¶x² +  ¶²S /¶y² +  ¶²S /¶z²)  =   DS

 

                kde D   =  Ñ × Ñ =  Ѳ  =  (¶²/¶x² +  ¶²/¶y² +  ¶²/¶ z²)   je Laplaceov operátor.

 

Výsledkom tejto druhej derivácie je skalárna funkcia, čo v podstate vidno hneď na začiatku, lebo ide o symbolický skalárny súčin:

Ñ ´ (Ñ S)  =  rot grad S(x,y,z) = ( i ¶/¶x + j ¶/¶y + k ¶/¶z) ´ ( i ¶S/¶x + j ¶S/¶y + k ¶S/¶z) =

                 =  i (¶²S /¶z¶y - ¶²S /¶y¶z) + j (¶²S /¶ z¶x -  ¶²S / ¶x¶z) + k (¶²S /¶x¶y - ¶²S /¶y¶x)  =  0

 

Rotácia gradientu skalárnej funkcie sa vždy rovná nule:

 

(1.3.6.2)        

 

 

Tretia možnosť -  Ñ (Ñ S) =  grad grad S  by predstavovala tenzorovú veličinu, ale s takýmto prípadom druhej derivácie sa pri opise fyzikálnych polí prakticky nestretávame.

 

Druhé derivácie vektorových funkcií:

 

 

Ñ (Ñ × A)  = grad div A(x,y,z)  =  ( i ¶ / ¶x + j ¶ / ¶y + k ¶ / ¶z)( ¶A_x / ¶x + ¶A_y / ¶y + ¶A_z / ¶z) =       

 =   i (¶²A_x / ¶ x²     +  ¶²A_y / ¶ y ¶ x   +  ¶²A_z / ¶ z¶ x)  +

  + j (¶²A_x / ¶ x¶y  +  ¶²A_y / ¶ y²      +  ¶²A_z / ¶ z¶y ) +

+k (¶²A_x / ¶ x¶ z  +  ¶²A_y / ¶y/ ¶ z  +  ¶²A_z / ¶ z² )

           

Výsledkom je vektorová funkcia. Operáciou v zátvorke (Ñ × A) vzniká z vektorovej funkcie   skalárna funkcia, ale nasledujúci gradient z nej opäť vytvorí vektorovú funkciu.

      

Druhú deriváciu  | ×  (| ´ A)  =  div rot A(x,y,z)   možno vyjadriť podobne ako zmiešaný súčin v tvare determinantu (vzťah 1.2.3.5). Vidno, že v determinante sú dva riadky rovnaké, pozostávajúce zo "súradníc " nabla operátora, takže po realizácii celého výpočtu získame dvojice rovnakých členov s opačnými znamienkami. Preto je výsledok tejto druhej derivácie vždy nulový:

 

(1.3.6.3)        

Druhú deriváciu  Ñ ´ (Ñ ´ A)  =  rot rot A(x,y,z)  rozpíšeme podľa predpisu pre dvojnásobný vektorový súčin:

 

Ñ ´ (Ñ ´ A) =  Ñ ( Ñ × A) - (Ñ × Ñ)A  =  grad div A  -  div grad A  =  grad div A - DA

 

 

Uvedené druhé derivácie sa používajú pri formuláciách zákonov platných vo fyzikálnych poliach. Riešenie príkladov obsahujúcich tieto derivácie neuvádzame.