Pohyb po priamkePohyb po priamke

Pri pohybe po priamke rozlišujeme pohyby s konštantnou rýchlosťou (vektor rýchlosti nemení veľkosť, ani smer), pohyby s konštantným zrýchlením (nemení sa veľkosť ani smer vektora zrýchlenia) a všeobecné pohyby. Tretí prípad nebudeme rozoberať. V prvom, aj v druhom prípade bude cieľom získať vzťahy vyjadrujúce polohu pohybujúcej sa častice, teda jej karteziánske súradnice, ako funkciu času. V druhom prípade pôjde aj o vyjadrenie závislosti rýchlosti od času.
 
a) Pri pohybe konštantnou rýchlosťou  sa vektor rýchlosti  v nemení, jeho derivácia podľa času sa rovná nule, nulové je teda zrýchlenie :  a = 0 . Takémuto pohybu sa hovorí pohyb rovnomerný.  Ak sa nemení vektor rýchlosti v, nemenia sa ani jeho súradnice  v x  ,  v y  a  v z .  Pre každú súradnicu rýchlosti platí vzťah typu   v y = Dy / Dt ,  takže možno napísať vzťahy   Dx = v x Dt ,   Dy = v y Dt ,    Dz = v z Dt  .  Vyjadrujú zmenu súradníc  x,  y,  z  pri uplynutí časového intervalu  Dt . Predpokladajme, že v časovom okamihu  t1  má častica súradnicu   x1   a v okamihu   t2   súradnicu  x2.   Časový interval  (t2  -  t1)  rozdeľme na mnoho malých intervalov    Dt i  (i = 1, 2, ..., n),  takže môžeme napísať
 
(Dx)i  =  v x (Dt)i        (2.1.4.1)
 
Sčítaním všetkých prírastkov súradnice v časovom intervale   t2  -  t1  dostaneme jej celkovú zmenu :  
            
(2.1.4.2)
 
Preto polohu častice v okamihu  t2  vyjadríme vzorcom
 
x2 =  x1  +   vx (t2  -  t1)        (2.1.4.3)
 
Je zvykom označovať súradnicu na začiatku pohybu ako  xo , nie ako x1  a príslušný čas (časový okamih) nie ako  t1 , ale ako to s tým, že sa zvyčajne považuje za nulový, teda to = 0. Vzorec (2.1.4.3) zmení potom svoju podobu :
 
x2 = xo  + vx t2 ,
 
pričom platí pre ľubovoľný časový okamih   t2  . Preto sa index  vynecháva, takže konečná podoba tohto vzorca má tvar
 
x = xo  + vx t.        (2.1.4.4)        
 
Grafickým znázornením závislosti veľkosti  rýchlosti v = vx (t) od času pri rovnomernom pohybe v smere osi x,  je  vždy  priamka,  rovnobežná  s časovou  osou  t  ( obr. 2.1.4.1).  Smernica  tejto priamky resp. tg a, (a je uhol  priamky  s osou  nezávisle  premennej, ktorým  je  čas  t) je nulová,  nakoľko a = o resp. 1800.
 
 
Rovnaké úvahy platia pre obe ďalšie súradnice:
                                              
y = yo  + vy t,
z = zo  +vz t.
 
Tieto rovnice vyjadrujú polohu častice pri rovnomernom pohybe po priamke v ľubovoľnom časovom okamihu t.  Tieto tri skalárne rovnice postupne vynásobíme príslušnými jednotkovými vektormi  i,  j, k  a sčítame ich ľavé a pravé strany :
 
(x i  + y j  + z k)  =  (xo i  + yo j  + zo k)    +  (vx i  +vy j  +  vz k) t,               
 
čo možno prepísať do vektorového tvaru
 
r  =  ro  +  v t         (2.1.4.5)
 
V rovnici (2.1.4.2) namiesto sumácie možno integrovať, keď delenie časového intervalu  (t2  -  t1)  budeme zjemňovať, takže počet malých časových intervalov  (Dt)i bude rásť nad všetky medze :
 
(2.1.4.6)
 
čo nakoniec vedie k rovnakému výsledku, ako je uvedený vo vzorci  (2.1.4.4).  Grafickým znázornením závislosti veľkosti  dráhy x = x( t) od času pri rovnomernom pohybe, určenom vzťahom   (2.1.4.6) je priamka ( obr. 2.1.4.2).  Smernica tejto  priamky resp. tg a, kde a je uhol  priamky s osou nezávisle premennej, ktorým je čas t, udáva veľkosť rýchlosti skúmaného hmotného bodu.
 
Vo fyzikálnej literatúre je však zvykom podobne ako pri derivácii, integrovať vektorovú funkciu, takže namiesto troch skalárnych rovníc  typu  (2.1.4.6) sa píše jedna vektorová rovnica :
 
        (2.1.4.7)
 
takže po zmene symboliky, spomenutej pred vzorcom (2.1.4.4), dostaneme rovnaký výsledok ako  (2.1.4.5) .
 
 
Poznámka
Vektory  r ,  ro  a   v , vystupujúce vo vzorci  (2.1.4.5), nemusia byť rovnobežné, teda nemusia ležať na jednej priamke. Závisí to od voľby vzťažného bodu, teda začiatku súradnicovej sústavy. Ak leží na priamke, všetky uvedené vektory sú s priamkou rovnobežné. Na obr. 2.1.4.3  začiatok súradnicovej sústavy leží mimo priamky.
 
 
 
Príklad  2.1.4.1
Pozdĺž osi  x  sa pohybuje častica konštantnou rýchlosťou  5 m.s-1 smerom k začiatku súradnicovej sústavy, pričom v čase  to = 0 mala súradnicu  xo =  3 m . Napíšte skalárnu rovnicu pre jej pohyb a vypočítajte:
        a) kedy príde do začiatku sústavy , 
        b) akú dlhú dráhu prešla.
 
Riešenie
a) Polohu častice pri pohybe rovnomernom vyjadruje rovnica (2.1.4.5) :  r  =  ro  +  v  t .  Podľa zadania vektory ro  a  v  majú opačný smer. Túto rovnicu môžeme napísať aj v tvare
 
(x i  + y j  + z k)  =  (xo i  + yo j  + zo k)    +  v  t ,
 
pričom si uvedomujeme, že vektor v  má opačný smer ako jednotkový vektor  i . Súradnice   y,  z,  yo   a  zo sú pritom nulové, lebo ide o pohyb po osi  x . Keď rovnicu vynásobíme  skalárne jednotkovým vektorom  i , dostaneme :
 
x  =  xo  +  (v × i) t  = xo  +  (v cosp )t  = xo  -  vt.
 
Tu si treba uvedomiť, že veličina  v  = 5 m/s je veľkosť (absolútna hodnota) vektora rýchlosti, ktorá nemôže byť záporná. Rovnicu  (2.1.4.5)  možno napísať aj v úplnom zložkovom tvare
                              
(x i  + y j  + z k)  =  (xo i  + yo j  + zo k)    +  (v x i  + v y j  +  v z k) t ,
 
takže po jej skalárnom vynásobení jednotkovým vektorom i dostaneme
 
x   =  xo  +  v x t .
 
V tomto prípade však súradnica  v x = - 5 m/s  musí byť záporná, aby rovnica správne opisovala pohyb podľa zadania. Z oboch foriem zápisu súradnice  x  ako funkcie času dostaneme správny výsledok. Okamih t1  príchodu častice do začiatku súradnicovej sústavy získame z podmienky, že súradnica  x  sa vtedy rovná nule :      
 
0  = xo  -  v . t1    Þ   t1 = xo / v  =  (3/5) s.
               
b) Vzdialenosť (veľkosť dráhy)  s,   ktorú častica prešla, vypočítame ako absolútnu hodnotu rozdielu jej súradníc na konci a na začiatku pohybu   s  = |x1  -  xo| =  3 m . 
 
Poznámka  
Výsledok z časti  b) príkladu 2.1.4.1  poukazuje na rozdiel medzi polohou častice a veľkosťou (dĺžkou) dráhy, ktorú častica prešla. Vzťahy (2.1.4.4)  a (2.1.4.5)  vyjadrujú polohu častice, nie veľkosť prejdenej dráhy.
 
           
b) Pri pohybe s konštantným zrýchlením sa nemení vektor zrýchlenia  a , preto jeho derivácia podľa času je nulová. Takémuto pohybu sa hovorí pohyb rovnomerne zrýchlený. Na základe definície ( 2.1.3.1)  môžeme napísať   dv  =  a dt    a tento vzťah integrovať :
 
(2.1.4.8)
 
Podobne ako pri rýchlosti, po zmene indexov dostávame rovnicu :
 
v  = v o  +  a t.        (2.1.4.9)
 
Táto rovnica vyjadruje závislosť vektora rýchlosti častice od času pri pohybe konštantným zrýchlením. Graf závislosti  rýchlosti od času pri rovnomerne zrýchlenom pohybe v smere osi x ukazuje obr. 2.1.4.4.
 
 
 
 
Skutočnosť, že vektor zrýchlenia je konštantný, sa prejavila pri  integrovaní v rovnici ( 2.1.4.8) ,  kde bolo možné vektor zrýchlenia vyňať pred integrál.
 
Vzťah  (2.1.4.9)  vyjadruje rýchlosť, pričom polohový vektor častice získame jeho ďalšou integráciou.  Uplatníme pritom definíciu vektora rýchlosti  v = dr / dt , na základe ktorej napíšeme   dr  =   Cdt , a tento vzťah integrujeme :
 
(2.1.4.10)
 
Integrál na ľavej strane rovnice sa rovná   r  -  ro  , takže pre polohový vektor platí
 
r  =  ro  +  vot  +  a t2 /2        (2.1.4.11)
 
Poznámka
Je to vektorový vzťah, a vektory v ňom vystupujúce nemusia byť rovnobežné, hoci ide o pohyb po priamke. Treba ďalej zdôrazniť, že v prípade pohybu, pri ktorom sa zrýchlenie s časom mení, tento vzorec neplatí (napr. zrýchlenie auta pri rozbiehaní, štart rakety, ...) . Pozri príklad  2.1.4.3 .
 
Grafická závislosť  dráhy pri rovnomerne zrýchlenom pohybe v smere osi x s nulovou počiatočnou rýchlosťou v0 znázorňuje graf na obr. 2.1.4.5, ktorý z matematického hľadiska znamená pohyb po parabole.
 
 
 
 
Príklad  2.1.4.2
Stojíme na balkóne vo výške  h  nad úrovňou terénu. Akou rýchlosťou  vo  musíme kameň vyhodiť zvislo nahor,  aby na zem dopadol o  n   sekúnd ?
 
Riešenie
Na prvý pohľad by sme mali tento prípad riešiť v dvoch etapách - najprv vyriešiť ako vysoko vyletí a koľko mu to bude trvať, potom v druhej etape riešiť prípad ako voľný pád z vypočítanej výšky. Príklad však možno vyriešiť naraz, použitím vzťahu  (2.1.4.11) . Ide o pohyb vo zvislom smere, s ktorým stotožníme súradnicovú os  y  .  Rozpíšeme rovnicu (2.1 .4.11)  do zložkového tvaru
 
(x i  + y j  + z k)  =  (xo i  + yo j  + zo k)  +  (vox i  + voy j  +  voz k) t  +  (1/2) (ax i  + ay j  +  az k) t 2
 
vynásobíme jednotkovým vektorom  j  orientovaným pozdĺž osi  y  zvislo nahor , takže dostaneme:
 
y  =  yo  + voy t   +  (1/2) ay t 2.
 
Ak sme kameň vyhodili v okamihu  t  =  0 , platí   yo = h , voy = vo  a  veľmi dôležité je uvedomiť si, že ay =  -g ,  kde  g   je veľkosť zrýchlenia voľného pádu. Záporné znamienko v tomto prípade znamená, že vektor zrýchlenia voľného pádu má opačný smer ako jednotkový vektor  j . Tak dostaneme rovnicu 
 
y  = h  +  vo t   -  (1/2) g t 2,
 
z ktorej bezprostredne vypočítame rýchlosť   vo  z podmienky, že súradnica  y  pri dopade sa rovná nule : 
 
0 =  h  + vo t1  -  (1/2) g t12.
 
V tejto rovnici sú okrem rýchlosti  vo  všetky veličiny známe, vrátane okamihu dopadu kameňa  t1 = n sekúnd  takže
 
 
                                 
Pohyb, pri ktorom je zrýchlenie konštantné, je v prírode i technike viacmenej výnimkou. Zrýchlenie býva komplikovanou funkciou času, takže rýchlosť, alebo polohu častice v danom okamihu už nemožno počítať na základe jednoduchých vzorcov. Pokiaľ je možné závislosť zrýchlenia vyjadriť analytickou funkciou, rýchlosť, i polohu častice možno vypočítať, ako ukazuje nasledujúci príklad.
 
 
Príklad  2.1.4.3
Zrýchlenie častice, ktorá  sa  pohybuje  po  osi   x   je  dané  vzťahom   ax  =  k1 - k2 vx  , kde  vx  je súradnica rýchlosti častice a  k1 ,  k2   sú  kladné konštanty.  (Je to reálny prípad, lebo s rastúcou rýchlosťou zrýchlenia ubúda - ako pri jazde autom). Nájdite závislosť zrýchlenia, rýchlosti a polohy  častice ako funkcie času, keď v čase  t = 0  bola častica v pokoji a nachádzala sa v mieste so  súradnicou  x  =  xo .
 
Riešenie
Podľa definície platí medzi súradnicami rýchlosti a zrýchlenia vzťah  ax  =  dvx / dt , takže môžeme napísať rovnicu :
 
 
Po integrácii dostaneme  
 
ln (1 - (k2 /k1 ) vx )  =  - k2 t    , resp.  vx  =  (1 - exp(-k2t))×(k1 /k2) ,
 
čo je závislosť rýchlosti od času. Vidno, že pre  t  ® ¥  rýchlosť dosahuje asymptotickú hodnotu  k1 /k2   . Deriváciou rýchlosti dostaneme závislosť zrýchlenia od času :  ax  = dvx /dt  =  k1 exp(-k2 t), z ktorého vyplýva, že zrýchlenie sa s rastúcim časom asymptoticky blíži k nule. Obe závislosti - pre rýchlosť aj pre zrýchlenie sú realistické. Pre súradnicu rýchlosti platí definičný vzťah   vx =  dx /dt  ,  čo využijeme na výpočet polohy častice :        
 
 
z čoho dostaneme výsledok 
 
 
Tento výsledok hovorí, že po dostatočne dlhom čase, keď sa rýchlosť už prakticky ustáli, súradnica sa s časom mení lineárne.
 
 
Príklad 2.1.4.4
Raketa sa z pokoja začala pohybovať tak, že jej zrýchlenie pri priamočiarom pohybe rovnomerne   rastie s  časom.   Za   prvých   5 s pohybu   jej   zrýchlenie   vzrástlo  na  hodnotu a1 = 5 m.s-2. Za predpokladu, že vplyv  prostredia na pohyb rakety zanedbáte určite:
a)   funkčnú závislosť zrýchlenia rakety od času pri tomto priamočiarom pohybe a smer, v ktorom  pohyb prebieha;
b)  funkčnú závislosť jej rýchlosti od času pri tomto pohybe;
c)   funkčnú závislosť prebehnutej dráhy od času pri tomto priamočiarom pohybe;
d)  akú rýchlosť dosiahla  za pol minúty svojho pohybu;
e)    akú dráhu za tento čas raketa prebehla. 
Riešenie
Zo zadania príkladu si vypíšeme veličiny a ich hodnoty, ktoré príklad udáva :
v0 = v(0)  =  0 m.s-1
t1 = 5 s
a1 = 5 m.s-2
t2 = 0,5 min = 30 s
a)
Určíme funkčnú závislosť zrýchlenia rakety od času pri tomto priamočiarom pohybe.
Prvá veta príkladu  hovorí, že strela sa dáva do pohybu takým spôsobom, že jej zrýchlenie pri priamočiarom pohybe  rovnomerne rastie s časom. Graficky túto skutočnosť môžeme znázorniť priamkou a matematicky formulovať rovnicou priamky, ktorá je v súradnicovom systéme xy vyjadrená rovnicou y = kx+q. V nami skúmanom prípade nezávisle premennou je čas t a závisle premennou zrýchlenie a. Preto pri transformácii súradníc  x® t  a  y ® a ,  zvážení, že  v okamihu t0 = 0  raketu umiestnime do začiatku  súradnicového systému, časová závislosť zrýchlenia  bude daná vzťahom
 
a = a(t)  = a(t) i  = kti
 
Konštantu priamej úmernosti k, resp. smernicu tejto priamky,  určíme zo zadaných hodnôt t1  a zrýchlenia  a1(t1)
a(t1) = kt1    ®  k = a(t1) /t1. Po dosadení číselných hodnôt dostávame k =1 m.s –3.
 
b)
Určime funkčnú závislosť rýchlosti od času pri tomto pohybe:
Keďže sa jedná o  pohyb po priamke a začiatok nami zvoleného súradnicového systému leží na tejto priamke,  počas celého pohybu bude ležať i vektor rýchlosti v i polohový vektor  strely r v smere vektora zrýchlenia a, t.j. v smere určeným jednotkovým vektorom i .  Veľkosť rýchlosti určíme
 
                
 
Počiatočná rýchlosť v0  strely je nulová, takže pre hľadanú funkčnú závislosť veľkosti rýchlosti od času dostávame vzťah    v(t)   = k t2 /2.
 
c)
Určime časovú  závislosť  polohy z definície rýchlosti
 
        
 
Pre veľkosť prebehnutej dráhy  (dĺžku) dostávame
 
 
d)  
Určime, akú rýchlosť dosiahla strela  za pol minúty svojho pohybu:
Z vypočítanej závislosti rýchlosti od času v(t)   =k t2/2  po dosadení uvedených číselných hodnôt dostaneme
 
v(t2)   = k t22/2 = 450 m/s
 
e)  
Určime,  akú dráhu za tento čas strela prešla: 
Z vypočítanej závislosti polohy od času x (t) = kt3/6 , po dosadení uvedených číselných hodnôt, dostaneme pre dĺžku ubehnutej dráhy ½x-x0½= 4 500 m.
 
 
Príklad 2.1.4.5
Určite okamžité rýchlosti  objektu v bodoch  A ,V a M, ak časová závislosť  pohybu v smere osi x je určená grafom na obrázku.
 

 
 
Riešenie
Keďže nemáme zadanú exaktnú rovnicu závislosti  x ako funkciu času t, nemôžeme dať precíznu odpoveď, pretože  nepoznáme  (dx / dt )A resp. v bodoch V a M.  Odpovedať na otázku  nám pomôže nákres dotyčnice  ku grafu funkcie v danom bode. Smernica dotyčnice v tomto bode  určuje okamžitú rýchlosť  objektu v skúmanom bode grafu.
 
 
Po číselnom dosadení hodnôt odčítaných z grafu dostaneme  v A = 2 ms-1. Bod  V je maximom funkcie x = x(t).  Dotyčnica v tomto bode je rovnobežná s  časovou osou,  t.j. smernica resp. derivácia funkcie v bode V sa rovná nule . Objekt sa v bode V zastaví.
 
 
 
Obdobne určíme okamžitú rýchlosť v bode M z trojuholníka B D D¢.
 
 
 
Záporné znamienko hovorí, že objekt sa pohybuje v zápornom smere osi x.
 
 

Príklad 2.1.4.6

Na strelnici v lunaparku chce strelec zasiahnuť nábojom  vystreleným z pušky  pohyblivý terč T. Predpokladajme, že náboj  sa pohybuje rovnomerným priamočiarym pohybom  s  rýchlosťou vn = 50 m.s-1. Terč v okamihu výstrelu sa nachádza vo vertikálnej rovine v bode T vo  vzdialenosti  d0 = 3 m od strelca a pohybuje sa kolmo na túto spojnicu rovnomerným priamočiarym  pohybom rýchlosťou vT = 20 m.s-1.  Zistite, či strelec zasiahol terč, ak mieril pod uhlom 300 od  horizontálnej roviny ( viď obrázok).

 

 
 
Riešenie
Aby strelec trafil terč, musí sa  terč i strela  v určitom časovom okamihu t   nachádzať na rovnakom mieste, ktoré označíme A.  Nech sa terč   z bodu T do bodu A dostane za časový interval  D t1 = t1 – t0 (t0 = 0 ) a za tento  interval prebehne dĺžku dráhy  Ds, určenej rovnicou
 
        (a)
 
Z obrázku pre miesto zásahu  platí
 
        (b)
 
Dobu letu terču určíme, ak dosadíme rovnicu (b)   do (a)
 
 
Označme t2 dobu letu  náboja z bodu O do bodu  A.  Za túto dobu náboj  preletí  dĺžku dráhy Dd, pre ktorú platí
 
 
Na základe  Pythagorovej  vety  a po dosadení za Dd,  určíme časový interval t2 potrebný  na doletenie náboja do bodu A.
 
 
Ak náboj i terč doletia do bodu A za rovnaký časový interval,  strelec trafí terč. Po dosadení číselných hodnôt dostávame pre
 
 
 
 
Získané  číselné hodnoty sú rôzne, takže strelec nezasiahol pohyblivý terč.
 
 

Kontrolné otázky

  1. Z hľadiska akých dvoch fyzikálnych veličín možno klasifikovať  pohyb? Definujte tieto veličiny a urobte klasifikáciu pohybov.
  2. Vyjadrite časovú závislosť dráhy pre pohyb priamočiary  rovnomerne zrýchlený so zrýchlením a,  ktorého začiatočná rýchlosť bola nenulová. Zvážte možné prípady.
  3. Nakreslite grafickú závislosť rýchlosti hmotného bodu ako funkciu času, ak sa hmotný bod  pohybuje priamočiaro v smere osi x : a) rovnomerne , b) rovnomerne zrýchlene.
  4. Nakreslite grafickú závislosť  zrýchlenia hmotného bodu ako funkciu času, ak sa hmotný bod  pohybuje priamočiaro v smere osi y : a) rovnomerne , b) rovnomerne zrýchlene.
  5. Nakreslite grafickú závislosť polohy hmotného bodu ako funkciu času, ak sa hmotný bod  pohybuje priamočiaro v smere osi x : a) rovnomerne , b) rovnomerne zrýchlene.
  6. Napíšte rovnicu trajektórie častice, ktorú spustíme v gravitačnom poli Zeme a) s nulovou počiatočnou rýchlosťou, b) s nenulovou počiatočnou rýchlosťou z výšky y0 nad Zemou.
  7. Aký pohyb koná teleso vrhnuté zvisle nahor   s nenulovou počiatočnou rýchlosťou?
  8. Aký pohyb koná častica, ktorá v ľubovolných, ale rovnakých časových intervaloch, prejde rovnaké dráhy?