Zložený pohyb - zrýchlenie
Z dynamického hľadiska je dôležité zrýchlenie častice. Z pohľadu dvoch sústav - S a S , nie je rovnaké. Zrýchlenie vzhľadom na sústavu S získame deriváciou vzťahu (2.1.10.5)
(dv /dt)S = (dvo /dt )S + (dv '/dt)S + (d(w ´ r ' )/dt)S (2.1.11.1)
Na ľavej strane je zrýchlenie a častice vzhľadom na inerciálnu sústavu S . Prvý člen na pravej strane predstavuje zrýchlenie ao začiatku sústavy S vzhľadom na sústavu S . V ďalších dvoch členoch vystupujú vektory v ' a r ' vyjadrené v sústave S , preto na derivácie týchto vektorov vzhľadom na sústavu S sa vzťahuje vzorec (2.1.10.6) , takže platí :
(d v ' /dt)S = (d v ' /dt)S + (w ´ v ' ) = a ' + (w ´ v ' ) (2.1.11.2)
kde a ' je zrýchlenie častice vzhľadom na sústavu S . Posledný člen rovnice (2.1.11.1) sa počíta takto
[d(w ´ r ')/dt]S = (dw /dt) ´ r ' + w ´ (dr '/dt)S = (a ´ r ' ) + (w ´ v ' ) + [w ´ (w ´ r ' )] (2.1.11.3)
kde dw /dt = a je uhlové zrýchlenie sústavy S vzhľadom na sústavu S a kde za (dr '/dt)S sa dosadí výsledok podľa vzorca (2.1.10.4).
Dosadením výsledkov (2.1.11.2) a (2.1.11.3) do rovnice (2.1.11.1) dostaneme výsledný vzťah :
a = ao + a ' + (a ´ r ' ) + 2(w ´ v' ) + [w ´ (w ´ r ' )] (2.1.11.4)
Príklad 2.1.11.1
Vypočítajte zrýchlenie bodu na obvode kolotoča vzhľadom na okolitý terén, keď kolotoč sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou w a polomer kolotoča je R .
Riešenie
Sústavu S viažeme na otáčajúci sa kolotoč, sústavu S na terén, pričom začiatky sústav stotožníme. Vtedy ro = 0 , vo = 0 , ao = 0 . Kolotoč nemá uhlové zrýchlenie, preto aj a = 0 . Bod sa vzhľadom na kolotoč nepohybuje, preto v' = 0 , aj a' = 0. Vzorec ( 2.1.11.4) na výpočet zrýchlenia sa takto veľmi zjednoduší :
a = w ´ (w ´ r ' ) = w (w × r ' ) - r 'w2 = - r 'w2
lebo vektory w a r ' sú na seba kolmé, takže ich skalárny súčin sa rovná nule. Vektor zrýchlenia teda smeruje do stredu otáčania, je to dostredivé zrýchlenie, lebo ide o pohyb bodu po kružnici. Jeho veľkosť je Rw2 .
Príklad 2.1.11.2
Posúďte, aké zrýchlenie má predmet nehybne ležiaci v sústave S vzhľadom na otáčajúcu sa sústavu S .
Riešenie
Stotožníme začiatky sústav , takže ro = 0 , vo = 0 , ao = 0 . Pre nehybný predmet v sústave S platí v = 0, takže zo vzorca (2.1.10.5) pre rýchlosť dostaneme
v’ = - (w ´ r ' )
Keďže aj a = 0 , pre zrýchlenie predmetu vzhľadom na sústavu S na základe rovnice (2.1.10.5) dostaneme výsledok :
a ’ = - 2 (w ´ v ' ) - w ´ (w ´ r ' ) = + 2 w ´ (w ´ r ' ) - w ´ (w ´ r ' ) = +w ´ (w ´ r ' ) = - r 'w2
Výsledok je teda rovnaký, ako v príklade 2.1.11.1, ide o dostredivé zrýchlenie. Pozorovateľovi sledujúcemu okolité telesá z otáčajúcej sa sústavy S sa situácia javí tak, že okolité telesá sa okolo neho pohybujú po kružniciach. Takto napríklad vidíme pohybovať sa hviezdy, keď ich pozorujeme z otáčajúcej sa Zeme, preto im musíme pripísať dostredivé zrýchlenie.
Príklad 2.1.11.3
Bod sa pohybuje v inerciálnej sústave S po priamke konštantnou rýchlosťou v . Vypočítajte zrýchlenie tohto bodu ako sa javí zo sústavy S , ktorá sa vzhľadom na sústavu S otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou w , ale nevzďaľuje sa od nej. Vektory v a w nech sú pre jednoduchosť na seba kolmé. (Pozri obr. v príklade 2.1.10.4)
Riešenie
Stotožníme začiatky sústav, takže ro = 0 , vo = 0 , ao = 0 a navyše a = 0 . Bod sa v S pohybuje konštantnou rýchlosťou, takže v = 0 . Rýchlosť bodu vzhľadom na S bola vypočítaná v príklade 2.1.10.4:
v ’ = v - (w ´ r ) = v - [ w ´ (ro + v t )]
Pre zrýchlenie podľa rovnice (2.1.11.4) platí :
a' = - 2 (w ´ v ' ) - w ´ (w ´ r ) = - 2 w ´ [ v - (w ´ r ) ] - w ´ (w ´ r ) = - 2(w ´ v) + w ´ (w ´ r )
Zrýchlenie má dva členy, druhý predstavuje dostredivé zrýchlenie, prvý je kolmý na vektor rýchlosti, predstavuje zrýchlenie, ktoré mení smer vektora rýchlosti. O zmene smeru vektora rýchlosti v ' sme hovorili v príklade 2.1.10.4. Je dôsledkom otáčania vzťažnej sústavy S , v inerciálnej sústave S vektor rýchlosti v nemení smer, ani veľkosť a nazýva sa Coriolisove zrýchlenie.
Kontrolné otázky
-
Vysvetlite, čo rozumieme pod pojmami „ absolútna sústava a relatívna sústava“.
-
Vyjadrite zrýchlenie hmotného bodu A vzhľadom na absolútnu sústavu. Vysvetlite význam jednotlivých veličín i členov.
-
Vyjadrite zrýchlenie hmotného bodu A vzhľadom na relatívnu sústavu. Vysvetlite význam jednotlivých veličín i členov.
-
Napíšte vzťah pre Coriolisove zrýchlenie.
-
Kedy musíme zvažovať pôsobenie Coriolisovho zrýchlenia? Uveďte príklady.
