Ak na mechanickú sústavu nepôsobia vonkajšie sily a teda podľa zákona o akcii a reakcii ani sústava nepôsobí silami na okolité telesá, sústave sa nedodáva, ani z nej neodoberá práca. Preto sa energia sústavy nemení. Túto skutočnosť vyjadrujeme formuláciou - energia izolovanej sústavy sa nemení. Je to formulácia zákona zachovania energie mechanickej sústavy.

 

Tento zákon možno formulovať aj matematicky. Na tento účel použijeme príklad z pohybu častice v gravitačnom poli Zeme. Gravitačná sila pôsobiaca na časticu koná prácu na úkor potenciálnej energie častice, pričom aj zo skúsenosti vieme, že zväčšuje jej rýchlosť, teda kinetickú energiu častice. Sústavu  Zem - častica považujeme za izolovanú, preto jej celková energia sa zachováva. Vzájomnou príťažlivosťou Zeme a častice sa obe telesá začnú k sebe približovať, pravda pohyb Zeme v porovnaní s pohybom častice je zanedbateľný (pozri príklad 2.2.6.3). Preto zákon zachovania energie v tomto prípade formulujeme tak, ako by sa týkal iba častice : úbytok potenciálnej energie častice v gravitačnom poli Zeme sa rovná prírastku kinetickej energie častice. Preto vzťah  (2.2.5.9)  môžeme zapísať v tvare:  

 

f_y dy  = - dE_p = +dE_k,

 

odkiaľ vyplýva

 

dE_k + dE_p  =  0        Þ                   d (E_k + E_p)  =  0       Þ

 

 

 

Súčet kinetickej a potenciálnej energie častice sa s časom nemení. To znamená, že ak v časovom okamihu  t₁  má častica energie  E_k1  a  E_p1  ,  a v časovom okamihu    t₂  energie  E_k2  a  E_p2  , potom platí rovnosť

 

 E_k1  +  E_p1  =  E_k2  +  E_p2         (2.2.6.2)

 

 

Pomocou zákona zachovania mechanickej energie vypočítajte, akou rýchlosťou dopadne teleso padajúce voľným pádom z výšky  h . Hmotnosť telesa je  m.

 

 

Nech  h = y₁ - y₂  . Vo výške označenej súradnicou  y₁   nech má teleso nulovú kinetickú energiu,  E_k1 = 0, a potenciálnu energiu  E_p1 = mgy₁ . Voľným pádom teleso padá nadol a v polohe označenej súradnicou y₂  má menšiu potenciálnu energiu  E_p2 = mgy₂  a  neznámu kinetickú energiu  mv₂² /2 . Podľa vzorca  (2.2.6.2 platí rovnosť

                                                               

0 + mgy₁ = mv₂²/2 + mgy₂

 

odkiaľ  najprv osamostatníme kinetickú energiu:

 

 mv₂²/2 = mg(y₁ - y₂) = mgh ,

 

a vypočítame rýchlosť  v₂  =  (2gh)^1/2

 

Rovnaký výsledok dostaneme pre rýchlosť vody prichádzajúcej do turbíny po prekonaní výškového rozdielu h . Ak poznáme prierez potrubia, pomocou vypočítanej rýchlosti môžeme zistiť, koľko mechanickej energie za sekundu voda prináša do turbíny.

 

 

Akú rýchlosť  v  treba udeliť guli smerom nahor po naklonenej rovine s uhlom  a = 30⁰ , aby prebehla dráhu  s = 5 m ? (Nebudeme uvažovať trenie, ani odpor prostredia.)

 

Dohodneme sa, že na začiatku má guľa nulovú potenciálnu energiu, E_p1 =0  . Jej začiatočná kinetická energia E_k1 = mv²/2. Pri pohybe nahor po naklonenej rovine postupne nadobúda výšku a stráca rýchlosť. Na konci dráhy  s  bude mať nulovú kinetickú energiu  E_k2 = 0 , pričom jej potenciálna energia bude  E_p2 = mgh = mgs sin(30^o).  Použijeme vzorec  (2.2.6.2) , pomocou ktorého získame vzťah

 

mv²/2  +  0  =  0 + mgs sin(30^o) ,

 

 z ktorého vypočítame začiatočnú rýchlosť: 

 

v = (gs)^1/2 @ (10 ms^-2 . 5 m )^1/2 = (50 m² s^-2 )^1/2 @  7 ms^-1

 

 

Teleso s hmotnosťou  m  začne vplyvom gravitačnej sily padať na Zem. Teleso a Zem sa navzájom priťahujú, preto po uplynutí istého časového intervalu obe telesá nadobudnú istú rýchlosť, ktorú meriame vzhľadom na vzťažnú sústavu spojenú s ich ťažiskom. Posúďte, či kinetické energie týchto telies sú po uplynutí časového intervalu  Dt  rovnaké.

 

Podľa zákona akcie a reakcie sily,  ktorými telesá na seba pôsobia, sú rovnako veľké,  preto telesám udelia rovnako veľký impulz I = F Dt .  Predpokladáme, že na začiatku boli telesá v pokoji, takže po uplynutí časového intervalu  Dt  nadobudnú rovnaké hybnosti :  Mw = mv , kde  M je hmotnosť Zeme a  m  hmotnosť telesa. Rýchlosť Zeme w  v porovnaní s rýchlosťou telesa  v  je malá, lebo  zo zákona zachovania hybnosti vyplýva

 

 

Kinetická energia Zeme  je

 

 

 

 

Pomer kinetických energií Zeme a telesa je nepriamo úmerný pomeru ich hmotností:

 

 

Preto je kinetická energia Zeme zanedbateľná. (Hmotnosť Zeme M = 5,98 . 10²⁴ kg)