Bernoulliho rovnica
Z rovnice kontinuity vyplýva, že pri prúdení kvapaliny v potrubí meniaceho sa prierezu sa kvapalina pohybuje so zrýchlením. Zväčšovanie rýchlosti prúdenia kvapaliny vo vodorovnej trubici môže spôsobiť len rozdielny tlak. Z tejto jednoduchej úvahy vyplýva, že v miestach s väčšou rýchlosťou kvapaliny musí byť tlak menší.
Pre kvantitatívnu formuláciu týchto zmien budeme skúmať prúdenie ideálnej kvapaliny hustoty r. Zvoľme si v prúdiacej kvapaline dostatočne úzku prúdovú trubicu a sledujme energiu objemového elementu kvapaliny prechádzajúceho najprv miestom 1 a potom 2. (obr.5.2.3.1). Hmotnostný stred elementu kvapaliny v mieste 1 je o h = h1 – h2 vyššie ako v mieste 2. Ak prierez S1 je väčší ako S2 podľa rovnice kontinuity musí byť rýchlosť v2 > v1. Prúdová trubica je dostatočne úzka, t.j. rýchlosť môžeme v celom priereze S1 a S2 považovať za konštantnú. Za časový interval Dt miestom 1 prešiel objem DV = v1 Dt S1 a častice kvapaliny, ktoré sa nachádzali v priereze S1 sú teraz v priereze S'1. Miestom 2 prešiel taký istý objem, lebo kvapalina je nestlačiteľná DV = v2 Dt S2 a častice kvapaliny prešli z prierezu S2 do S'2. Pri stacionárnom prúdení v objeme medzi a S2 nedochádza k žiadnym zmenám, iba jedny častice sa zamieňajú druhými. Potrebné je preto sledovať iba zmeny medzi S1, S'1 a S2, S'2.
Práca výslednice síl sa rovná prírastku kinetickej energie hmotnostného elementu Dm = r DV. Prácu koná tlaková sila a gravitačná sila. Tlakové sily pôsobiace z bočných strán prúdovej trubice sa navzájom rušia. Tangenciálne sily nie sú, pretože kvapalina je ideálna a nemá vnútorné trenie. Práce tlakových síl sú W1 = p1 S1 v1 Dt a W2 = – p2 S2 v2 Dt. Celková práca tlakových síl je Wp = (p1 – p2) DV. Práca gravitačnej síly sa rovná úbytku potenciálnej energie. Ak hmotnostné stredy objemových elementov sú vo výškach h1 a h2 nad vzťažnou rovinou, potom práca gravitačnej sily Wg = r DVg (h1– h2). Platí teda rovnica:
(5.2.3.1)Môžeme ju upraviť na tvar:
(5.2.3.2)Prierezy S1 a S2 sme volili ľubovoľne, preto výraz
v ktorom prvý člen vyjadruje kinetickú energiu objemovej jednotky, druhý člen potenciálnu energiu objemovej jednotky a p je tlak, musí mať rovnakú hodnotu v ľubovoľnom mieste danej prúdovej trubice. Podľa predpokladov o malosti prierezov S1 a S2 a intervalu Dt rovnica (5.2.3.2) bude platiť tým presnejšie, čím bude prierez prúdovej trubice menší. Rýchlosť, výšku h a tlak na pravej a ľavej strane rovnice (5.2.3.2) budeme preto vzťahovať na určitú prúdovú čiaru. Z odvodenia rovnice a rozmerov jej členov vyplýva jej nasledovná fyzikálna intepretácia:
Pri ustálenom prúdení ideálnej kvapaliny v gravitačnom poli je súčet kinetickej a potenciálnej energie objemovej jednotky a tlaku pozdĺž prúdovej čiary konštantný.
(5.2.3.3)Táto rovnica sa volá Bernoulliho rovnica. (Daniel Bernoulli, 1700 – 1782). Vyjadruje zákon zachovania mechanickej energie pri ustálenom prúdení ideálnej kvapaliny.
Poznámka 1
Konštanta v rovnici (5.2.3.3) je rovnaká pozdĺž určitej prúdovej čiary. Vo všeobecnosti sa môže meniť pri prechode od jednej prúdovej čiary k druhej. Môžeme sa stretnúť s prípadmi, keď je táto konštanta rovnaká pre všetky prúdové čiary. Je to napríklad vtedy, keď všetky prúdové čiary sa začínajú, alebo končia v takej oblasti, kde v = 0.
Poznámka 2
O tlaku hovoríme, že je hydrostatický v tých miestach, kde je kvapalina v pokoji. Z Bernoulliho rovnice potom platí p0 = konšt. – rgh. V rovnakej výške je pri prúdení kvapaliny hydrodynamický tlak
Hydrodynamický tlak je za inak rovnakých podmienok o kinetickú energiu objemovej jednotky menší ako hydrostatický tlak.
Poznámka 3
Čím je rýchlosť kvapaliny väčšia, tým je v danom mieste za rovnakých ostatných podmienok tlak menší. Tento fakt, ktorý sa laickému pozorovateľovi zdá nepochopiteľný má názov „hydrodynamický paradox“.
Príklad 5.2.3.1
Rozdiel tlakov v hlavnom potrubí a v zúženej časti vodomeru je Dp = 1×105 Pa. Aký je objemový prietok vody vodomerom, ak priečne prierezy hlavného potrubia a zúženej časti sú S1 = 0,1 m2, S2 = 0,05 m2?
Riešenie
Pre vodorovnú trubicu môžeme písať zjednodušený tvar Bernoulliho rovnice:
Po vyjadrení rýchlosti v2 z rovnice kontinuity: S1 v 1= S2 v2
a pretože p1 – p2 = D p, dostaneme:
Hľadaný objemový prietok:
Príklad 5.2.3.2
Vzdušný prúd obteká krídlo lietadla laminárnym prúdením. Ak rýchlosť vzduchu obtekajúceho spodnú plochu krídla je v1 = 100 m×s–1, akú rýchlosť v2 musí mať vzduch nad hornou plochou krídla, aby vznikol vztlak 1000 Pa?
Riešenie
Zjednodušene predpokladajme, že pre vzdušný prúd obtekajúci krídlo platí h1 = h2 Potom má Bernoulliho rovnica tvar:
Vztlak Dp je rozdiel tlakov vzduchu p1 – p2 pôsobiacich zospodu a zhora na krídlo lietadla. Preto rýchlosť v2 bude:
Príklad 5.2.3.3
Injekčná striekačka (obr. 5.2.3.2) dĺžky l = 4 cm má prierez piesta S1 = 120 mm2 a otvor ihly má prierez S2 = 1 mm2. Ako dlho bude vytekať kvapalina hustoty r = 1050 kg×m–3 zo striekačky, ak je uložená vo vodorovnej rovine a na piest pôsobíme silou F = 5 N?
Riešenie
Bernoulliho rovnica bude mať tvar :
Pre rýchlosť v2 z rovnice kontinuity platí:
Po dosadení do predošlej rovnice a úprave, dostaneme pre rýchlosť pohybu piesta v1:
Pri rovnomernom pohybe piesta bude čas vytekania:
