Uvažujme sústavu, ktorú tvorí ideálna pružina na ktorej je upevnené teleso (hmotný bod) hmotnosti m podľa obr. 6.1.1. V tejto časti a aj v nasledujúcich častiach budeme používať  termín teleso len pre názornosť, pri pohybe sa bude chovať ako hmotný bod. Budeme predpokladať, že pre deformáciu pružiny (predĺženie, alebo stlačenie) platí Hookov zákon a deformácia pružiny je priamo úmerná pôsobiacej sile. Budeme ďalej predpokladať, že podložka je ideálna a to v tom zmysle, že proti pohybu v horizontálnom smere nepôsobí žiadna sila trenia.

 

 

Nech sa teleso pri nedeformovanej pružine nachádza v počiatku súradnicovej osi . V tejto polohe na teleso v smere súradnicovej osi nebude pôsobiť žiadna sila a takúto polohu voláme rovnovážna poloha. Ak ho posunieme o vzdialenosť x, pružinu tým natiahneme a na teleso bude pôsobiť sila v opačnom smere, ako sme pružinu deformovali. Zložku tejto sily v smere osi x vyjadruje rovnica  F = – kx, kde k > 0. Takúto silu voláme návratná sila a konštanta k je silová konštanta /tiež tuhosť pružiny/. Ak teleso uvolníme, sila mu udelí zrýchlenie a potenciálna energia natiahnutej pružiny sa premení na kinetickú energiu telesa. Po prechode rovnovážnou polohou teleso začne pružinu stláčať. Kinetická energia sa premení na potenciálnu energiu stlačenej pružiny, situácia sa opakuje a teleso začne vykonávať periodický pohyb po priamke. Takáto sústava predstavuje lineárny harmonický oscilátor. Ukážeme totiž, že výchylka x z rovnovážnej polohy je harmonickou funkciou času a teda tento lineárny oscilátor je harmonický.

 

Pohybová rovnica pohybu telesa má tvar

 

        (6.1.2.1)

 

Prepíšme ju do tvaru

 

        (6.1.2.2)

 

a zaveďme substitúciu w₀²= k/m. Dostávame rovnicu

 

        (6.1.2.3)

 

Rovnica (6.1.2.3) je lineárna diferenciálna rovnica 2. poriadku.

Riešenie rovnice hľadáme v tvare

 

        (6.1.2.4)

 

Po dosadení a úprave dostávame charakteristickú rovnicu

 

        (6.1.2.5)

 

z ktorej vyplývajú komplexne združené korene l₁ = iw₀  a  l₂ =  –iw₀.  Z teórie lineárnych diferenciálnych rovníc vyplýva, že ak rovnici vyhovujú dve riešenia, riešením je aj ich lineárna kombinácia a všeobecné riešenie pohybovej rovnice pre pohyb za pôsobenia návratnej sily má  tvar

 

        (6.1.2.6)

 

Z matematiky vieme, že C₁ a C₂ sú vo všeobecnosti združené komplexné čísla. Výchylka x je však reálne číslo. Využijeme e^ij = cosj + i.sinj a zavedieme substitúcie C₁+ C₂ = A₀ cosj, i(C₁– C₂) = –A₀ sinj.

 

 

Po vykonaní elementárnych úprav dostávame reálny tvar všeobecného riešenia pohybovej rovnice pre harmonický oscilátor

 

        (6.1.2.7)

 

kde x predstavuje okamžitú výchylku v čase t, A₀ je maximálna výchylka alebo aj amplitúda kmitov, argument (w₀t + j) je fáza kmitu a j je fázová konštanta. Fázová konštanta je fáza v čase t = 0. Obidve konštanty A₀ a j vyplývajú z počiatočných podmienok, ktorými sú obyčajne výchylka a rýchlosť v čase t = 0. Časový priebeh harmonického kmitania je na obr. 6.1.2.

Nájdime teraz fyzikálny význam konštanty w₀. Zväčšime čas v rovnici  (6.1.2.7) o 2p/w₀. Dostávame

 

        (6.1.2.8)

 

Časový interval T₀ rovný 2p /w₀ je doba, za ktorú sa výchylka opakuje, teda je to perióda kmitov. Platí

 

        (6.1.2.9)

 

Frekvencia kmitov f₀ je počet kmitov za časovú jednotku

 

        (6.1.2.10)

 

odkiaľ

 

        (6.1.2.11)

 

Všimnite si, že frekvencia kmitania nijako nezávisí na tom, ako veľmi sme pružinu natiahli a teda aká veľká je amplitúda kmitov. Závisí len od hmotnosti kmitajúceho telesa a silovej konštanty pružiny. Veličinu w₀ nazývame uhlová frekvencia (tiež kruhová frekvencia) pohybu; jej jednotka v sústave SI je radián za sekundu, fyzikálny rozmer je s^–1.

 

Riešenie rovnice (6.1.2.2) môžeme rovnako dobre vyjadriť aj v tvare  x = A₀ sin (w₀t+j^´). Pri daných počiatočných podmienkach sa pritom len zmení hodnota fázovej konštanty o p/2.

Vyjadrime teraz rýchlosť a zrýchlenie telesa. Pre rýchlosť dostávame

 

        (6.1.2.12)

 

a pre zrýchlenie

 

        (6.1.2.13)

 

Vidíme, že rýchlosť predbieha výchylku vo fáze o p/2 a zrýchlenie predbieha výchylku vo fáze o p.

 

Uviedli sme už, že konštanty A₀ a j pre každý konkrétny prípad harmonického pohybu môžeme určiť z počiatočných podmienok.  Objasníme si to na nasledujúcom príklade.

 

Vypočítajte amplitúdu a fázovú konštantu netlmeného harmonického pohybu hmotného bodu po priamke, ak v čase t = 0 s má okamžitú výchylku  x_o = x(0) = 0,03 m a rýchlosť v_o = v(0) = 0,4 m.s^–1 a frekvencia kmitov je  f₀ = 1 s^–1.

 

 

Pre okamžitú výchylku a rýchlosť v ľubovoľnom čase platí x = A cos(w₀ t + j),

 

 

V čase t = 0 s dostaneme: x_o = A₀ cos j ,  v_o = – A₀ 2 pf₀ sinj .

Rovnice upravíme do tvaru

 

Umocnením a sčítaním rovníc dostávame pre amplitúdu  

 

 

Vzájomným delením týchto rovníc dostaneme

 

 

Pre fázovú konštantu j platí: j ₁ = 115,2° , resp . j ₂ = 295,2°.

Teleso hmotnosti m je upevnené medzi dvoma pružinami, ktoré majú silové konštanty k₁ a k₂ a nachádza sa medzi nimi v rovnovážnej polohe. Vypočítajte periódu kmitov telesa, keď voľné konce pružín sú upevnené podľa obr. 6.1.3.

 

Pri vychýlení telesa z rovnovážnej polohy budú naň pôsobiť návratné sily F₁ = – k₁ x , F₂ = – k₂ x ,  kde x  je výchylka z rovnovážnej polohy. Musíme si uvedomiť, že smer síl od obidvoch pružín je rovnaký. Ak napríklad teleso vychýlime z rovnovážnej polohy do prava, pravú pružinu stláčame, ľavú naťahujeme. Výsledná sila F = – k x   sa rovná súčtu týchto síl.

 

 

F = F₁ + F ₂ = –  (k ₁+ k₂) x  ,   – k x = – (k₁+ k₂) x. Odtiaľ pre výslednú silovú konštantu pružín platí:  k = (k₁+ k₂).

Pre uhlovú frekvenciu kmitavého pohybu a pre jeho periódu dostaneme: