Vlnová rovnica

(12.3.1.)

je z matematického hľadiska parciálna diferenciálna rovnica. V (geometricky) jednorozmernom prípade

(12.3.2.)

možno riešenie rozvinúť do radu harmonických funkcií. Jednoduché riešenie je dané súčtom partikulárnych riešení vo forme harmonických funkcií:

(12.3.3.)

kde E₁(x) a E₂(x) sú amplitúdy závisiace od polohy, ktoré určime z počiatočných, alebo okrajových podmienok a w kruhová frekvencia. Aby sme nemuseli neustále vypisovať súčet dvoch partikulárnych riešení prepíšeme riešenie do komplexného tvaru:

(12.3.4.)

Komplexné vyjadrenie vlny je len naša fikcia, aby sme zjednodušili zápis riešenia. V experimente môžeme merať len intenzitu I žiarenia, ktorá je daná ako komplexný kvadrát riešenia:

(12.3.5.)

Ak urobíme potrebné derivácie riešenia:

(12.3.6.)

a dosadíme do vlnovej rovnice dostaneme:

(12.3.7.)

z poslednej rovnice vylúčime rýchlo sa meniacu časovú zložku exp{iwt} a dostaneme:

(12.3.8.)

čo je rovnica formálne podobná rovnici harmonického oscilátora. Jediná zmena je, že v rovnici lineárneho harmonického oscilátora vystupovala druhá derivácia podľa času a v našom prípade tu vystupuje druhá derivácia podľa súradníc. Samozrejme nie všetky riešenia vlnovej rovnice sú také jednoduché. V mnohých prípadoch ich v analytickej forme ani nevieme nájsť.