Uvažujme o slučke s elektrickým prúdom I. V svojom okolí vytvára vlastné magnetické pole s uzavretými magnetickými indukčnými čiarami. Tie pretínajú ľubovoľnú plochu, ktorú prúdová slučka ohraničuje a vytvárajú vlastný magnetický tok F cez túto plochu. Vlastná indukčnosť prúdovej slučky L je definovaná podielom vlastného magnetického toku F a elektrického prúdu I v slučke

(10.6.2.1)

Jednotka indukčnosti v sústave SI henry (1 H = 1 Wb.A^-1) je pomenovaná podľa amerického fyzika Josepha Henryho (1797-1878). Pre cievku s počtom závitov N s elektrickým prúdom I sa definuje cievkový magnetický tok F_c = NF, kde magnetický tok F prechádza cez povrch jedného závitu cievky. Vlastná indukčnosť cievky bude

(10.6.2.2)

V prípade, ak sa v priestore nachádzajú dve prúdové slučky s prúdmi I₁ a I₂, bude celkový magnetický tok F₁ cez plochu ohraničenú prvou slučkou súčtom vlastného toku F₁₁ a vzájomného toku F₁₂, ktorý je na ploche ohraničenej prvou slučkou vytvorí magnetické pole generované elektrickým prúdom I₂ v druhej slučke

(10.6.2.3)

kde L₁₁ je vlastná indukčnosť prvej slučky a L₁₂ = M je vzájomná indukčnosť medzi slučkami. Zrejme podobný vzťah platí pre celkový magnetický tok F₂ na ploche ohraničenej druhou slučkou

(10.6.2.4)

kde L₂₂ je vlastná indukčnosť druhej slučky. Z posledných dvoch vzťahov pre vzájomnú indukčnosť M = L₁₂ = L₂₁ vyplýva

Pri úprave sme použili Stokesovu vetu a vzťah (10.6.1.12) pre vektorový potenciál A₁ generovaný prúdom I₁ v prvej prúdovej slučke. R je vzdialenosť medzi vektormi dl₁ a dl₂. Vzájomná indukčnosť M v konečnom dôsledku závisí iba od permeability vákua, vzájomnej polohy a geometrických rozmerov slučiek

(10.6.2.5)

Práca vonkajšej sily pri prenose bodového elektrického náboja q₁ z referenčného bodu do miesta 1 s potenciálom j₁ (generovaného bodovým elektrickým nábojom q₂) sa rovná súčinu j₁q₁. Práca vonkajšej sily pri prenose bodového elektrického náboja q₂ z referenčného bodu do miesta 2 s potenciálom j₂ (generovaného bodovým elektrickým nábojom q₁) sa rovná súčinu j₂q₂. Výsledkom oboch experimentov je jedna a tá istá sústava, preto sú práce vykonané obidvomi vonkajšími silami rovnaké a sú rovné energii elektrického poľa sústavy pozostávajúcej z dvoch elektrických nábojov

(10.6.2.6)

Výsledok môžeme zovšeobecniť pre sústavu pozostávajúcu z n bodových elektrických nábojov

(10.6.2.7)

V prípade spojitého rozloženia elektrického náboja v priestore vyjadríme energiu elektrického poľa integrálom

(10.6.2.8)

Energiu magnetického poľa W_m budeme určovať analogicky. Stačí zameniť v poslednom vzťahu j®A, r®j a pri predpoklade, že naša diskrétna sústava pozostáva z n prúdových slučiek s elektrickým prúdom I_k, prierezom S_k^/ a plochou S_k ktorú k-ta prúdová slučka ohraničuje, po úprave získame

Aplikáciou Stokesovej vety získame

Energia magnetického poľa sústavy z n prúdových slučiek sa rovná

(10.6.2.9)

S využitím posledného vzťahu a vzťahov (10.6.2.3), (10.6.2.4) pre energiu magnetického poľa sústavy dvoch prúdových slučiek dostaneme

a po úprave

(10.6.2.10)

Pri zmene smeru elektrických prúdov v oboch slučkách sa energia nezmení, pri zmene smeru prúdu v ľubovoľnej slučke sa zmení znamienko pred energiou vzájomnej väzby MI₁I₂.

S využitím (10.6.2.1) získame pre energiu magnetického poľa jednej prúdovej slučky

(10.6.2.11)

Energia magnetického poľa cievky sa rovná

(10.6.2.12)

Hustotu energie magnetického poľa vnútri dlhej cievky (solenoidu) dĺžky l, s počtom závitov N, s plošným obsahom S jedného závitu určíme s využitím (10.6.2.12), Ampérovho zákona celkového prúdu (10.4.2.9) a definície magnetického toku (10.5.1.2). Ak zanedbáme pole mimo solenoidu na uzavretej integračnej krivke, časť ktorej sa nachádza vnútri solenoidu, z Ampérovho zákona dostaneme

Hustota energie magnetického poľa vnútri solenoidu bude

(10.6.2.13)

Vo všeobecnosti, v ľubovoľnom bode priestoru určíme hustotu energie magnetického poľa vzťahom

(10.6.2.14)

 

Kontrolné otázky

1. Prečo zavádzame magnetický vektorový potenciál?
2. Je vektorový potenciál rotáciou magnetickej indukcie?
3. Je magnetická indukcia B v každom bode kolmá na magnetický vektorový potenciál A?
4. Je vektor Idl prúdovodiča kolmý na jeho príspevok dB do magnetickej indukcie?
5. Prečo sa rovnobežné vodiče so súhlasne orientovanými prúdmi priťahujú, ale elektrické náboje rovnakého znamienka sa pri pohybe vedľa seba tým istým smerom odpudzujú?
6. Definujte vlastnú a vzájomnú indukčnosť!
7. Ako sa zmení energia magnetického poľa sústavy dvoch prúdových slučiek pri zmene smeru elektrických prúdov?

 

Úlohy

1. Vypočítajte vektorový potenciál v strede prúdovej slučky v tvare kružnice! (0 T.m)

2. Vypočítajte magnetický vektorový potenciál a magnetickú indukciu na osi prúdovej slučky tvaru kružnice polomeru 10 cm s elektrickým prúdom 2 A vo vzdialenosti 20 cm od stredu. (0 T.m, 1,124 mT)

3. Určte indukčnosť solenoidu dĺžky l=10cm, prierezu S=2 cm² s počtom závitov N=1000. Aká je energia magnetického poľa vnútri ak solenoidom tečie prúd I=2 A? (2,5 mH, 5 mJ)