V pomerne veľkej vzdialenosti od zdroja možno obmedzenú časť vlnoplochy elektromagnetickej vlny považovať za rovinnú. Napríklad v niekoľko kilometrovej vzdialenosti od vysielacej antény - v blízkosti prijímača. Vzorec (11.3.3.1) pre Poyntingov vektor :

P = E x H  (11.3.5.1)

platí všeobecne, bez ohľadu na tvar vlnoplochy. V prípade rovinnej vlny nadobúda osobitný tvar, ktorý je užitočný nie iba pri rozhlasových vlnách, ale aj v optike, pri opise energie prenášanej svetlom. Pre rovinnú vlnu bol odvodený vzorec (11.3.2.6) , vyjadrujúci vzťah medzi vektormi B a E :

z ktorého vyplýva, že medzi vektormi E a H existuje podobný vzťah :

(11.3.5.2)

Výsledok dosadíme do vzorca (11.3.5.1) :

Skalárny súčin (i × E) = 0 , lebo v rovinnej vlne je vektor E kolmý na smer šírenia vlny, v tomto prípade opísanom jednotkovým vektorom i . Preto Poyntingov vektor rovinnej vlny má tvar :

 (11.3.5.3)

pričom všetky tri vyjadrenia sú rovnocenné, lebo pre rýchlosť elektromagnetických vĺn platí vzťah (pozri vzorec 11.3.1.5) c² = 1/( e_o m_o ) , pomocou ktorého možno uvedené vyjadrenia získať.

Vzorec (11.3.5.3) vyjadruje okamžitú hodnotu Poyntingovho vektora. Ak ide o harmonickú elektromagnetickú vlnu vektor E periodicky mení svoju veľkosť i smer, takže aj veľkosť Poyntingovho vektora sa periodicky mení. Frekvencie elektromagnetických vĺn s ktorými sa stretávame sú také vysoké, že oscilácie Poyntingovho vektora zmyslami nedokážeme vnímať. Napríklad pri svetle vnímame akúsi priemernú hodnotu, ktorú možno vyjadriť pomocou amplitúdy vektora intenzity elektrického poľa E . Vypočítame ju ako strednú hodnotu veľkosti Poyntingovho vektora počas jednej periódy. Pritom budeme predpokladať, že veľkosť vektora E sa v danom mieste elektromagnetického poľa (napríklad pri prijímači, alebo v oku) mení podľa funkcie sínus : E = E_o sin( wt + j) , kde E_o je amplitúda (maximálna hodnota) jeho veľkosti. Potom :

takže

Stredná hodnota Poyntingovho vektora rovinnej harmonickej vlny je preto úmerná druhej mocnine amplitúdy vektora E .

Príklad 11.3.5.1 Dokážte, že stredná hodnota Poyntingovho vektora sa dá vyjadriť vzorcom < P > = (1/2) cB_o²/m_o, kde B_o je amplitúda magnetickej zložky harmonickej elektromag. vlny.

Riešenie

Veľkosť Poyntingovho vektora vyjadríme vzťahom P = EH (11.3.3.5), ktorý upravíme pre prípad rovinnej vlny. Namiesto veľkosti vektora E dosadíme veľkosť vektora B , ktorú získame zo vzťahu (11.3.2.6) upraveného pre veľkosti týchto vektorov - E = B c :

P = EH = B c H = B c (B /m_o) = c B ²/m_o . Toto je vzorec pre okamžitú hodnotu Poyntingovho vektora. Strednú hodnotu v prípade harmonickej vlny získame postupom, ktorý bol použitý pri odvodení vzorca (11.3.5.4)

 

Príklad 11.3.5.2 Hélium - neónový laser vysiela zväzok monochromatického svetla, ktorý má kruhový prierez s polomerom r = 1 mm , pričom jeho intenzita je v celom priereze rovnaká. Celkový priemerný výkon lasera je N = 3,5 mW a vlnová dĺžka l = 633 nm. Vypočítajte a) frekvenciu f monochromatického svetla , b) amplitúdu elektrickej a magnetickej zložky príslušnej elektromagnetickej vlny.

Riešenie

a) Frekvencia f monochromatickej vlny súvisí s vlnovou dĺžkou l a fázovou rýchlosťou c vzťahom c = l f . Preto f = c / l = (3.10⁸ m/s) / (633.10^-9 m) = 4,74.10¹⁴ Hz

b) Ak výkon lasera N = 3,5 mW pripadá na celý prierez lúča, potom stredná hodnota Poyntingovho vektora v lúči je <P> = N / (pr²) . Stredná hodnota Poyntingovho vektora harmonickej vlny sa na druhej strane počíta podľa vzťahu (11.3.5.4), alebo podľa vzťahu uvedeného v príklade 11.3.5.1 . Preto N / (pr²) = (1/2)(c/m_o) B_o² = (1/2)(e_oc)E_o² . Z týchto vzťahov môžeme vypočítať amplitúdy elektrickej aj magnetickej zložky elektromagnetickej vlny:

E_o = 915,6 V/m , B_o = 3,06 . 10^-6 T .

 

Kontrolné otázky

1. Napíšte vzorec pre Poyntingov vektor rovinnej elektromagnetickej vlny !
2. Napíšte vzorec vyjadrujúci strednú hodnotu Poyntingovho vektora harmonickej vlny!
3. Možno strednú hodnotu Poyntingovho vektora harmonickej vlny vyjadriť pomocou amplitúdy jej magnetickej zložky ?