Pri odvodzovaní a použití základnej pohybovej rovnici kvantovej mechaniky sa stretneme s pojmami operátor fyzikálnej veličiny ako napríklad operátor hybnosti a Hamiltonov operátor. Nakoľko v kvantovej fyzike pojem „operátor“ je bežným pojmom, ozrejmime si jeho význam a spôsob pracovania s operátormi. 

 

Základné vlastnosti operátorov

Definície:

• Operátorom Ô nazývame predpis Ô f(X) = g(X), podľa ktorého funkciám z oboru definície operátora priraďujú inú funkciu z oboru hodnôt operátora.

Operátory budeme označovať strieškou nad príslušnou veličinou. Vo fyzike nás budú zaujímať operátory určitých fyzikálnych veličín, ktoré budú lineárne operátory. Najčastejšie používané pojmy a vlastnosti operátorov možno zhrnúť:

Nech pre každý operátor  a Y , definovaný na množine D, a pre ľubovolné funkcie y₁ , y₂ , y D a pre ľubovolné komplexné číslo K platia vlastnosti:

1) Â(y₁ +y₂) = Ây₁ + Â y₂;

2) Â(ky) =K (Ây),

potom operátor  nazývame lineárnym operátorom .

Súčet dvoch operátorov :

3) (Â + Y ) y = Ây + Y y.

Výsledok je operátor.

Súčin dvoch operátorov:

4) Â Y y = Â(Y )y = Âj , kde Y y = j

predstavuje postupné pôsobenie obidvoch operátorov na danú funkciu. Výsledok je operátor.

5) Â Y ≠ Y Â - súčin dvoch operátorov vo všeobecnosti nie je komutatívny, t.j. záleží od poradia pôsobenia operátorov;

6) Výraz [ Â, Y ] = Â Y - Y Â, (13.4.1.1)

nazývame komutátor operátorov a Y , ktorý je tiež operátorom.

7) Jednotkový operátor Î (operátor identity)

Operátor Î nazývame jednotkovým operátorom, ak pre ľubovolnú funkciu y (x) platí

Îy (x) = y (x)

Množina operátorov na Hilberovom priestore stavov tvorí algebru s jednotkovým prvkom.

Hilbertov priestor je množina regulárnych funkcií, t.j. funkcií ktoré sú spojité, jednoznačné, kvadraticky integrovateľné ( existuje integrál zo súčinu komplexnej a k nej komplexne združenej funkcie).

8) Inverzný operátor Â^-1 k operátoru  - Â^-1 je inverzný operátor ak platí

 Â^-1 = Â^-1 Â= Î ;

keď j = Ây , y = Â^-1j

9) Hermitovsky združený operátor - operátor Â⁺ sa nazýva hermitovsky združený operátor k operátoru  ak platí

 je hermitovský, ak  = Â⁺

.

Axióma: Každej pozorovateľnej fyzikálnej veličine možno priradiť lineárny hermitovský operátor . K času doteraz nepoznáme operátor, čas vystupuje

v kvantovej fyzike ako parameter.

• Vlastná funkcia a vlastná hodnota operátora Â

Nech pre pôsobenie operátora  na funkciu y_(x) platí rovnica

 y_(x) = K y_{(x) ,} (13.4.1.2)

potom vlnovú funkciu y(x) – nazývame vlastná funkcia operátora  a číslo K – nazývame vlastná hodnota operátora Â;

Operátor  môže mať viacero vlastných funkcií y _n(x) a zodpovedajúcich vlastných hodnôt K_n . Množinu vlastných hodnôt operátora nazývame spektrom. Ak platí rovnica:

 y _n(x) = K_ny _n(x) (13.4.1.3)

hovoríme o diskrétnom spektre. Spektrum môže byť i spojité.

Poznámka: Pre operátory platia i ďalšie vlastnosti, s využívaním ktorých sa študent na úrovni bakalára v základnom kurze fyziky nestretne. Preto ich na tomto mieste neuvádzame.

• Stredná hodnota fyzikálnej veličiny A, (resp. označenie <A> ), ktorej je priradený operátor Â, v stave opísanom vlnovou funkciou y_(x) , je definovaná

. (13.4.1.4)

Pre normové vlnové funkcie, t.j. pre funkcie pre ktoré platí:

,

výraz pre strednú hodnotu fyzikálnej veličiny sa zjednoduší na

, (13.4.1.5)

kde je komplexne združená funkcia k y_1.

 

Najpoužívanejšie operátory vo fyzike

V tomto paragrafe zhrnieme najviac používané operátory, s ktorými sa stretneme v nasledujúcich častiach:

1.Operátor súradnice x, (resp. y, z)

2 .Operátor x-ovej zložky hybnosti

, (13.4.1.6)

resp.

, ,

pretože

.

Pre trojrozmerný prípad platí

,

kde Ñ je gradient .

3. Hamiltonov operátor

. (13.4.1.7)

Hamiltonov operátor je súčtom operátora kinetickej energie a operátora potenciálnej energie E_p. D je Laplaceov operátor D =Ñ·Ñ . (Ñ nabla operátor).

4. Operátor celkovej energie

. (13.4.1.8)

5. Operátor z-ovej zložky momentu hybnosti

8. Operátor štvorca momentu hybnosti

13.4.1.3 Význam veličiny „komutátor dvoch operátorov“

Komutátor operátorov  a Y nazývame výraz vyjadrený rovnicou (13.4.1.1)

[ Â, Y ] = Â Y - Y Â.

Môžu nastať dva prípady:

· Komutátor dvoch operátorov je rovný nule. Vtedy hovoríme, že operátory komutujú. Fyzikálne veličiny, ktorých operátory navzájom komutujú, sú súčasne merateľné s rovnakou presnosťou, s rovnakou mierou neurčitosti, t.j. nadobúdajú naraz „ostrú hodnotu.“

· Komutátor dvoch operátorov je veličina rôzna od nuly. Vtedy hovoríme, že operátory nekomutujú . Fyzikálne veličiny, ktorých operátory navzájom nekomutujú, nie sú súčasne merateľné s rovnakou presnosťou, ale s istou mierou neurčitosti.

Poznámka: Miera neurčitosti určenia súčinu súradnice x a x-ovej zložky hybnosti p_x a neurčitosť v určení súčinu energiu a času je daná Heisenbergovými vzťahmi neurčitosti, o ktorých pojednáme v samostatnom paragrafe. Presnejšie určenie jednej veličiny, vedie k nepresnejšiemu určeniu druhej veličiny.

Príklad 13.4.1.1 Nájdite výsledok pôsobenia operátorov (d²/dx²)x² na funkciu cos x.

Riešenie  Pôsobenie operátora na zadanú funkciu možno zapísať

Príklad 13.4.1.2 Zistite, či funkcia Y(x) je vlastnou funkciou operátora Â:

a) Y(x) = sin(npx), kde n je celé číslo a Â= d²/dx²

b)

Riešenie: Na základe definície, danej rovnicou (13.4.1.2), vlnovú funkciu y(x) – nazývame vlastnou funkciou operátora  , ak platí  y(x) = K Y(x), kde K je číslo, ktoré nazývame vlastná hodnota operátora.  . Aplikujme funkciu na daný operátor:

V prípade a):

Výslekom je súčin čísla a pôvodnej funkcie. To znamená, že číslo K = –n2p2 je vlastnou hodnotou operátora  a funkcia Y(x) = sin(npx) je vlastnou funkciou operátora Â.

V prípade b):

Vidíme. že v tomto prípade K= 2ax, kde x je ľubovolná premenná. Musíme skonštatovať, že K nie je číslo a teda funkcia Y(x) nie je vlastnou funkciou operátora Â.

Príklad 13.4.1.3 Zistite či , že operátory komutujú, a rozhodnite, či x-ová zložka hybnosti a kinetická energia častice je súčasne merateľná s ľubovolnou presnosťou.

Riešenie: Napíšeme si jednotlivé operátory a ich komutátor, určený rovnicou

,

 

Nech funkcia, na ktorú aplikujeme operátor má tvar Y (x) = 2x3

Z výsledku vidieť, že komutátory komutujú a teda hybnosť a energiu možno merať súčasne s ľubovoľnou presnosťou.

 

Príklad 13.4.1.4 Dokážte, že funkcia y(x) = sin kx je vlastnou funkciou operátora  = d²/dx² a vypočítajte vlastné hodnoty operátora Â. Zistite, ako sa zmenia vlastné funkcie a vlastné hodnoty operátora Â, ak funkcia y(x) spĺňa okrajové podmienky y(0) = 0 , y(l) = 0 .

Riešenie  a) Vlastné funkcie sú určené rovnicou (13.4.1.3), podľa ktorej platí:

odkiaľ vyplýva , že K = - k2 , kde k je ľubovolné číslo. Takže funkcia y(x) = sin kx je vlastnou funkciou operátora  a –k² je vlastná hodnota operátora Â

b/ Zistíme, ako sa zmenia vlastné funkcie a vlastné hodnoty operátora Â, ak funkcia y(x) spĺňa okrajové podmienky y(0) = 0 , y(l) = 0 Hraničná podmienka y(0) = 0 je splnená vždy.

y(0) = sin k.0 = sin 0 = 0.

Z druhej podmienky y(l) = 0 dostaneme

y(l) = sin kl = 0 .

Táto rovnosť je však splnená len ak kl = n p pričom n = 1,2,3,...... a pre k musí teda platiť k = n p / l . Uplatnenie okrajových podmienok spôsobí, že vlastnými funkciami operátora  budú iba funkcie

yn(x) = sin kx= sin n p x/l n = 1,2,3,.... .

Vidíme, že operátor  pri uvážení okrajových podmienok, má viac vlastných funkcií a viac vlastných hodnôt. Spektrum jeho vlastných hodnôt bude diskrétne

  n = 1,2,3, ... .

Kontrolné otázky

1. Vyslovte definíciu operátora fyzikálnej veličiny.
2. Uveďte tri príklady operátorov fyzikálnych veličín.
3. Je pôsobenie vlnovej funkcie na súčet dvoch lineárnych operátorov asociatívne?
4. Je vo všeobecnosti súčin dvoch operátorov komutatívny?
5. Napíšte výraz pre komutátor dvoch operátorov fyzikálnych veličín.
6. S čím súvisí hodnota komutátora dvoch operátorov fyzikálnych veličín?
7. Uveďte príklad dvoch operátorov, ktorých komutátorov je rovný nule. Čo môžeme povedať o týchto fyzikálnych veličinách?
8. Uveďte príklad dvoch operátorov, ktorých komutátorov nie je rovný nule. Čo môžeme povedať o týchto fyzikálnych veličinách?
9. Definujte pojem vlastná funkcia operátora.
10. Definujte pojem vlastná hodnota operátora.
11. Môže nadobúdať operátor určitej fyzikálnej veličiny viac vlastných hodnôt?
12. Môžeme k operátoru nájsť i viac vlastných funkcií?
13. Definujte strednú hodnotu fyzikálnej veličiny
14. Napíšte Hamiltonov operátor energie.