Pre zjednodušenie budeme uvažovať jednorozmerný prípad a hľadať riešenie základnej pohybovej (13.4.2.10), t.j. budeme hľadať vlastné funkcie a vlastné hodnoty operátora energie častice pohybujúcej sa v smere osi x. Vieme, že Hamiltonov operátor je operátor celkovej energie a dostaneme ho z klasického výrazu pre celkovú energiu častice, ak v ňom vystupujúce veličiny nahradíme kvantovomechanickými operátormi.

V prípade, že sa častica pohybuje v smere osi x v oblasti kde na časticu pôsobiace sily môžeme popísať zmenou potenciálnej energie E_p(x), Hamiltonov operátor pre časticu pod vplyvom týchto síl je súčtom operátora kinetickej energie a operátora potenciálnej energie. Zaviedli sme ho v paragrafe 13.4.1 rovnicou (13.4.1.7). Pre kinetickú energiu častice, pohybujúcej sa v osi x, platí:

, (13.5.1.1)

a pre potenciálnu energiu častice pohybujúcej sa v osi x v prípade, že existuje rovnovážna stredná poloha a sila je úmerná výchylke z tejto polohy a smeruje do rovnovážnej polohy

. (13. 5.1.2)

Poznámka: Vzťah (13. 5.1.2) určuje potenciálnu energiu lineárneho harmonického oscilátora.

Celková energia častice bude

, (13. 5.1.3)

a odpovedajúci Hamiltonov operátor možno zapísať v tvare

. (13. 5.1.4)

Jednorozmerná časová Schrödingerova rovnica pre časticu s potenciálnou energiou E_p je určená rovnicou (13. 4.2.14)

.

Ak potenciálna energia nezávisí od času, môžeme vlnovú funkciu vyjadriť v tvare (13. 4.2.21)

(13. 5.1.5)

kde E je celková energia. ( Pozn. Odvodenie tvaru funkcie čitateľ nájde v paragrafe (13. 4.2))

Z tvaru vlnovej funkcie(13. 5.1.5) je zrejmé, že hustota pravdepodobnosti výskytu častice nezávisí od času. Po dosadení vlnovej funkcie (13. 5.1.5) do Schrödingerovej rovnice a jej úprave, dostávame nečasovú (stacionárnu)Schrödingerovu rovnicu (13.4.2.18)

.

Ak uvažujeme voľnú časticu, na ktorú nepôsobia žiadne sily, je potenciálna energia častice pohybujúcej sa v osi x nulová. Celková energia voľnej častice je určená len jej kinetickou energiou. Po tomto zvážení má nečasová Schrödingerova rovnicu pre voľnú časticu tvar

. (13. 5.1.6)

Po dosadení rovnice (13. 5.1.1) za E _k do rovnice (13. 5.1.6), s uvážením, že pre de Broglieho vlnovú dĺžku častice platí vzťah (13.3.2.1), pre výraz p/h dostaneme 1/l, kde l je de Broglieho vlnová dĺžka pohybujúcej sa voľnej častice. Ďalej vieme, že pre vlnové číslo platí vzťah k = 2p/l, definované rovnicou (13.3.2.1), takže rovnicu (13. 5.1.6) možno prepísať do tvaru

, (13. 5.1.7)

kde rovnica (13. 5.1.7) je taktiež nečasová Schrödingerova rovnicu pre voľnú časticu s

ktorá má všeobecné riešenie

, (13. 5.1.8)

kde A a B sú ľubovoľné konštanty. Dosadením získaných vlnových funkcií v tvare (13. 5.1.8) do rovnice (13. 5.1.5), nájdeme tvar časove závislej vlnovej funkcie pre voľnú časticu v tvare

_. (13. 5.1.9)

Ak sa častica pohybuje len v smere kladnej osi x, konštanta B je rovná nule.

Príklad 13.5.1.1 Častica sa voľne pohybuje v osi x. Riešením Schrödingerovej rovnice nájdite vlnovú funkciu pre takúto časticu!

Riešenie  Častica sa pohybuje voľne, to znamená, že Ep = 0 a riešime Schrödingerovu rovnicu

.

Riešime ju separáciou premenných a riešenie hľadáme v tvare

.

Po dosadení, vykonaní derivácií a vynásobení celej rovnice 1/jc dostávame

.

Pravá a ľavá strana tejto rovnice sú funkciami rôznych premenných x a t. Môžu sa rovnať len vtedy, ak obidve strany sa rovnajú tej istej konštante. Označme túto konštantu E. Ako uvidíme ďalej bude to celková, v tomto prípade práve kinetická energia častice.

Dostávame dve rovnice

.

Riešenie prvej rovnice nájdeme separáciou premenných a má tvar

.

Druhú rovnicu upravíme na tvar

,

a zavedieme substitúciu

.

Riešenie hľadáme v tvare j = Celt. Po vykonaní druhej derivácie a úprave dostávame charakteristickú rovnicu l2 + k2 = 0, z ktorej vyplývajú možné hodnoty l1,2 = ± ik. Vzhľadom na dve hodnoty l všeobecným riešením je funkcia

 .

 Celková vlnová funkcia voľnej častice pohybujúcej sa v osi x je súhlasná s rovnicou (13. 5.1.9)

.

Poznámka: V nasledujúcom príklade uvidíme, že prvý člen tejto funkcie odpovedá stavu s kladnou hodnotou hybnosti p, teda pohybu v kladnom smere osi x (doprava), druhý člen predstavuje pohyb v opačnom smere.

Ako bolo uvedené v úvode, vlnová funkcia obsahuje informáciu o pravdepodobnosti výskytu častice. Nech sa pohyb koná iba v kladnom smere osi x a konštanta B = 0. Pre hustotu pravdepodobnosti výskytu častice dostávame . Hustota pravdepodobnosti nezávisí od času, ani polohy. Je všade konštantná. Tento výsledok je v súlade s princípom neurčitosti.(Pozri príklad 13.4.4.1). Poznáme presnú hodnotu energie častice, teda presne poznáme aj jej hybnosť p. O polohe častice potom nemôžeme nič povedať, pretože Dx bude nekonečne veľké.

Riešenie  Ak pre operátor a vlnovú funkciu platí rovnica (13.4.1.2) Ây= Ky, potom daná funkciay je vlastnou funkciou a konštanta K vlastnou hodnotou daného operátora. Operátor

Po dosadení dostávame

Uvedená funkcia je vlastnou funkciou operátora hybnosti a vlastná hodnota je p.