Častica viazaná v nekonečnej hlbokej potenciálovej jame
V príklade 13.4.4.1 sme uvažovali, že elektrón je viazaný na úsečku. V reálnom experimente to znamená elektrón „umiestnený" medzi dvomi paralelnými kovovými doskami, ktoré sú nabité na vysoký záporný potenciál. Medzi doskami je potenciál nulový. Platí teda:
. (13.5.2.1)
Pre tento potenciál, resp. potenciálnu energiu budeme riešiť nečasovú Schrödingerovu rovnicu :
.
Riešenie hľadáme intervale x = (0,L), pretože mimo intervalu (0,L) je riešenie nulové. Ak je Ep(x)=0 možno poslednú rovnicu prepísať do tvaru obyčajnej diferenciálnej rovnice (13.5.1.7)
,
kde
. (13.5.2.2)
Jej riešenie je ľahké, spomeňte si na riešenie úlohy (13.5.1.1) a možno ho zapísať vo forme súčtu harmonických funkcií daných rovnicou (13.5.1.8) , respektíve po prepísaní do tvaru
, (13.5.2.3)
kde A a B sú konštanty, ktoré treba určiť z okrajových podmienok, v našom prípade:
. (13.5.2.4)
Z okrajovej podmienky v bode x=0 vyplynie, že B=0. Z druhej okrajovej podmienky (v bode x = L) dostane
, kde n je celé číslo. (13.5.2.5)
Konštantu A určíme z normovacej podmienky:
. (13.5.2.6)
Po vyriešení posledného integrálu dostaneme pre ľubovoľné (prípustné) kn :
. (13.5.2.7)
Výsledný tvar "dovolenej" vlnovej funkcie j((x) dostaneme po dosadení "normovacej" konštanty A a B (B = 0 len v našom prípade, vo všeobecnosti to tak nemusí byť):
. (13.5.2.8)
kvadrát absolútnej hodnoty tejto funkcie (vo všeobecnosti komplexný súčin j*(x) j(x) ) určuje hustotu pravdepodobnosti výskytu častice v bode x. Pravdepodobnosť, že časticu nájdeme v intervale polôh <x,x+Dx> na n-tej energetickej hladine je daná:
Prípustné hodnoty energie (vlastné čísla operátora) sústavy elektrónu viazaného na úsečku dostaneme, keď aplikujeme (znamená to, že urobíme operácie uvedené v operátore) operátor celkovej energie (v kvantovomechanickom vyjadrení je energia operátor na funkciu j(x)
(13.5.2.9)
Po vykonaní dvojnásobnej derivácie (ukrytej v operátore hybnosti) pre dovolené energie sústavy dostaneme:
(13.5.2.10)
alebo po dosadení za kn zo vzťahu (13.5.2.2)
(13.5.2.11)
Podľa posledného výrazu, sú v sústave lokalizovaného elektrónu prípustné len určité energie. "Vzdialenosť" medzi jednotlivými energetickými hladinami je nepriamo úmerná dĺžke intervalu, na ktorom je elektrón lokalizovaný. Ak rozšírime interval do nekonečna dostaneme spojité spektrum energie, čo je charakteristické pre voľnu časticu. Energetický rozdiel medzi dvomi hladinami rastie kvadraticky s rastúcim n. Výsledok sa líši od závislosti odvodenej Balmerom pre energetickú vzdialenosť dvoch hladín (orbitálov) v atóme vodíku (DE~1/n2), pretože tam sa elektrón pohybuje v trojrozmernom coulombickom poli, čo je úplne iný problém.
Existenciu izolovaných energií (diskrétne energetické spektrum) možno pochopiť tak, že v riešení vyžadujeme nulovú hodnotu vlnovej funkcie na okrajoch intervalu, na ktorom je elektrón viazaný. Je to podobné ako keď kmitá struna, upevnená v dvoch pevných bodoch, len na určitých (dovolených) frekvenciách. Každej frekvencii prislúcha stacionárne vlnenie také, ktoré spĺňa okrajové podmienky. Na obr. 13.5.2.1 sú zobrazené tri prvé vlastné funkcie, ktoré môžu v stacionárnom stave existovať v nekonečne hlbokej potenciálovej jame.
Hustota pravdepodobnosti existencie častice je nakreslená na obr. 13.5.2.1 b. Na najnižšej energetickej hladine (prvá vlnová funkcia) je hustota pravdepodobnosti najväčšia v strede intervalu na ktorom je elektrón (vlno-častica) viazaný. Na druhej energetickej hladine je hustota pravdepodobnosti v strede intervalu nulová.
Obr. 13.5.2.1 : Tvar vlnovej funkcie (a) a hustoty pravdepodobnosti výskytu (b) elektrónu "uzavretého" doskami, ktoré predstavujú konečne hlbokú potenciálovú jamu.
Každá iná vlnová funkcia (stav) vnútená na začiatku sa „rozpadne" na množinu dovolených vlnových funkcií (13.5.2.8). Ak sa počiatočný stav približuje k niektorej z vlastných funkcií potom výsledný stav zahrňuje len malý počet funkcií. V opačnom prípade sa počiatočný stav rozpadne na veľký počet vlastných funkcií s nenulovou amplitúdou.
Záverom možno zhrnúť pre pohyb častice v jednorozmernej potenciálovej jame:
· energia častice je kvantovaná a je určená vzťahom (13.5.2.10);
· najnižšia energia prináleží základnému stavu a je určená kvantovým číslom n=1 v rovnici (13.5.2.10);
· energia častice lokalizovanej v určitom priestore nemôže byť nulová;
· kvantovanie energie priamo vyplýva z hraničných podmienok pre vlnovú funkci;
· dovolené stavy častice sú určené vlnovými funkciami , vzťah (13.5.2.8).
Kontrolné otázky
- Ktorú rovnicu napíšete ako prvú, ak chcete nájsť prípustné hodnoty energie a vlastné funkcie častice nachádzajúcej sa v nekonečne hlbokej potenciálovej jame?
- Aké hodnoty energie môže nadobúdať častica nachádzajúca sa v nekonečne potenciálovej hlbokej jame?
- Napíšte rovnicu pre vlastné funkcie častice nachádzajúcej sa v nekonečne hlbokej potenciálovej jame?
- Kedy môže častica nadobúdať ľubovoľné hodnoty energie?
- Ktoré prípady poznáte, kedy je energia častice kvantovaná?
- Ak je kvantovaná energia častice, je kvantovaná aj veľkosť hybnosti p2?
- Hustota pravdepodobnosti výskytu častice v strede nekonečnej potenciálovej jamy v najnižšom energetickom stave má maximálnu hodnotu. Môže byť v tomto mieste aj nulová? Ak áno, tak vysvetlite kedy.
- Ukážte, že vlnové číslo pre voľnú časticu je určené vzťahom kde Ek je kinetická energia častice.
- Pôvodnú šírku nekonečne hlbokej potenciálovej jamy dvakrát zväčšíme. Ako sa zmení oproti pôvodnej hodnote energia častice v najnižšom energetickom stave? Bude tento pomer platiť aj pre excitované stavy?
- Elektrón je uväznený v nekonečnej potenciálovej jame a nachádza sa v stave s n = 4. Koľko uzlov a koľko maxím má v priestore jamy šírky L hustota pravdepodobnosti výskytu elektrónu?